Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
43. Метод годографа. Несмотря на относительную простоту уравнений (42.9) или (45.4), их применение приводит к серьезным затруднениям, обусловленным нелинейностью этих уравнений. Моленброк2) в 1890 г. заметил, что дифференциальные уравнения движения становятся линейными, если перейти к плоскости годографа, где роль независимых переменных играют компоненты скорости и, v (или q и Ь). Этот метод был использован Чаплыгиным в его знаменитой работе о газовых струях3) и стал затем классическим мето-
1) Гизе Д., сб. Механика, №1 (17), 86 (1953).
2) Molenbroeck P., Arch. Math. Phys., 9, 157 (1890).
3) Чаплыгин С. А., О газовых струях (диссертация), собр. соч., т. II, Гостехиздат, М. — Л., 1948 (имеется отдельное издание, 1949).
43. Метод годографа
127
дом исследований по газовой динамике, применявшимся многими учеными!). Мы ограничимся' здесь изложением основ метода годографа, не касаясь широкого круга приложений преобразования годографа.
Как мы уже видели, потенциал скорости и функция тока установившегося безвихревого течения. удовлетворяют соотношениям
« = сРдг = уФу. v = <fy = — y<lv (43.1)
Нас интересуют те уравнения, которым удовлетворяют функции ср и ф, если за независимые переменные взять модуль скорости q и угол наклона вектора скорости Ь. Предлагаемый ниже вывод этих уравнений является, вероятно, наиболее простым. Заметим прежде всего, что
dy + l^-=*{tidx-\-vdy) + і (— vdx -f- и dy) =
— {и — iv) (idx + і dy) = qe~ib dz\
здесь z — x-\-iy. Рассматривая теперь q и Ь как независимые переменные, получаем
Используя равенство zq^ = Xbqt после несложных преобразований находим
п Я Ч* ™ dq \ м)
Приравнивая в этом уравнении действительные и мнимые части по отдельности и применяя уравнение Бернулли (37.9), приходим к так называемым уравнениям годографа:
ср<?== — ** = 7V (43-2)
!) Подробную библиографию по этому вопросу можно найти в следующих работах: Bers L., Comm. Pure Appl. Math., 7, 79 (1954); Germain P., Comm. Pure Appl. Math., 1, 117 (1954); L і g h t h і 11 M. J., [33], гл. 7; S с h і f f e г М., данная Энциклопедия, т. IX; см. также Cherry Т., Phil. Trans. Roy. Soc. Lond.., A, 245, 583 (1953); Schafer М., J. Rational Mech. Anal., 2, 383
*1953) и работы, цитированные далее в этом и следующем пунктах.
128
Гл. 5. Идеальный газ
Решение уравнений (43.2) соответствует течению в физической плоскости только в том случае, когда якобиан перехода от переменных <7, & к переменным х, у не равен нулю. Поэтому представляет интерес найти выражение этого якобиана в переменных плоскости годографа, т. е. величину
!(*¦ у). = ?(*> у) д(?,ф) ^_______L_ гр2ф2 , f j _М2ч ф21 ,-43 3)
d(q,%) д(ч>, ф) d(q,9) pitys |Р т» ~Г U
Заметим, что в случае дозвуковых течений этот якобиан отличен от нуля всюду, кроме, быть может, некоторого множества изолированных точек. Точнее говоря, введение переменных годографа основано на предположении независимости q и &, а не х и у. решения, для которых эти переменные являются зависимыми, т. е.
d(qt А) _0
d(x,y)—v'
не могут, быть получены методом годографа, так как образ области соответствующего течения на плоскости а, v представляет робой некоторую кривую. Теорию таких течений читатель сможет найти в IX томе этой Энциклопедии в статье Шиффера, Дальнейшие подробности относительно особых точек преобразования годографа можно найти в книге Куранта и Фридрихса ([21], § 30, 105).
Из уравнений (43.2) легко получить уравнения в плоскости годографа, содержащие только ср или только ф. Так, например, исключив функцию ср и введя новую переменную
a — f ?q~1dq,
мы получим
<L + ff(°)4>w = 0. К(0) = р-2(1-М2). (43.4)
Это уравнение служит отправной точкой для широкого- круга исследований по теории дозвуковых и околозвуковых течений. При изучении дозвуковых течений иногда применяется другая независимая переменная:
_ с /1-М2 J ' q q’
44. Частные решения
129
уравнение для функции тока принимает при этом следующий вид1):
Фгг + Фв* + 0°g k\ І = °- k = P_1 VГЗГМ2-
Следует упомянуть также уравнения годографа, которые получаются в результате преобразования Лежандра:
ф = их -f- vy — ср, W = р иу — pvx — ф.
В силу очевидных соотношений
х = ф — — W v = Ф =W л и pv* У ри.
имеем
^ = ± (1 _ М2) ф9. = -рдФг (43.5)
Эти уравнения эквивалентны полученным выше уравнениям (43.2).
Как заметил Крокко2), систему уравнений годографа (43.2) и (43.5) можно записать в изящной симметричной форме, если одновременно с переменной q ввести другую независимую переменную Q — pq. Действительно, в переменных q, Q и & мы имеем
?Э = — -J-V1* (43-6)
и аналогично
Ф* = T* = -Q®e. (43.7)
44. Частные решения. По-видимому, целесообразно рассмотреть здесь некоторые приложения уравнений годографа.
1. Приближенный метод. Для дозвукового течения уравнения
(43.2) можно записать в виде
Чг = — k'h< Ь = (44Л)
где
Л /1-М2 . . VI— М2
Г= ) 1—------------------------------------dq, к = +- -, (44.2)
*) Нетрудно получить аналогичное уравнение и для сверхзвуковых течений. Дальнейшее преобразование уравнений годографа основано на обобщении преобразования Беклунда из теории поверхностей; см. статью Лёвнера [Loewner С., J. d'Anal. Math., 2, 219 (1953)].
