Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
& — p{TS'— Н'), (42.5)
где 5 = 5(ф), а
Я=Я(ф) = 1?2 + /(р. S).
Если 5(ф) и #(ф) — известные функции, то уравнение (42.4) можно рассматривать как уравнение второго порядка с частными производными относительно ф.
Смысл уравнения (42.4) станет более понятным, если рассмотреть частный случай совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. В этом случае
в=ш,=і
(см. п. 35), и после несложных вычислений мы получим
(<Р — фу) ЬХ+ ЪWxy + (<Р — %) %у =
=-[(^+И - (^т
где d — pc— акустический импеданс. Уравнению (42.6) можно придать более простую форму, которая одновременно является более удобной для численного расчета течений. Рассмотрим с этой целью сопряженное течение (см. п. 39), определенное формулами
V* = PoCoV, Р* = рДроСо)2- Р* = Р-
Функция тока ЧГ этого течения удовлетворяет соотношению dW = dtylpQcQ; следовательно,
lsradirl -Sr- (42J)
124
Гл. 5. Идеальный газ
Таким образом, зная только функцию тока можно при помощи обычных газодинамических таблиц (или простых формул) получить значения различных параметров исходного течения'. М, plpQ> р/р0 и т. д. Функция тока ? удовлетворяет, очевидно, уравнению (42.6) для сопряженного течения. Мы имеем
а* = 4-. м* = м
а о
Н* — (росо)2 Н — const • р\,
— = log Р? \ = log РІ+1 -f- const.
cv (poco)
Подставляя эти выражения в уравнение (42.6), получаем
Ш - К+г+ш - *•?] % =
(42'8)
Уравнение (42.8) является тем самым упрощением уравнения (42.6), о котором мы говорили выше. Значительное преимущество уравнения (42.8) обусловливается тем, что его коэффициенты легко выразить непосредственно через grad4T. Добавим, что в уравнении (42.8) функции S' и Н' входят только в величину log Pq. В табл. 2 приведены численные значения коэффициентов уравнения (42.8); более удобным оказывается представить все величины в виде функций от числа Маха, хотя на самом деле независимой переменной является величина |-gradT|. Следует отметить, что максимум величины |grad4T| равен 0,579 и что каждое значение | grad ТІ, меньшее 0,579, встречается в таблице дважды. Этот факт становится понятным, если вспомнить, что величина |grad№| представляет собой поток массы pq. Связанная с этим неопределенность в выборе значений коэффициентов (42.8) не может вызвать недоразумений, так как в зависимости от характера исследуемой задачи мы пользуемся либо частью таблицы, относящейся к дозвуковому режиму, либо частью, относящейся к сверхзвуковому режиму.
42. Функция тока
125
Таблица 2
Коэффициенты уравнения (42.8)
Дозвуковое течение Сверхзвуковое течение
м 1 grad W 1 тії л м 1 grad W 1 (d/d<> )2 л
0,0 0 і 0,714 1,1 0,574 0,272 —0,011
0,1 0,099 0,988 0,690 1,2 ’ 0,562 0,219 —0,015
0,2 0,195 0,953 0,623 1,3 0,543 0,174 —0,015
0,3 0,284 0,898 0,524 1,4 0,519 0,137 —0,013
0,4 0,364 0,828 0,411 1,5 0,492 0,108 —0,010
0,5 0,432 0,746 0,299 1,7 0,432 0,065 —0,006
0,6 0,487 0,659 0,199 2,0 0,343 0,029 —0,002
0,7 0,529 0,571 0,119 3,5 0,085 0,001 —0,000
0,8 0,557 0,485 0,061 5,0 0,023 0,000 г-0,000
0,9 0,574 0,406 0,022 10,0 0,011 0,000 —0,000
1,0 0,579 0,335 0 оо 0 0 0
Замечание. В этой таблице приняты следующие 'обозначения: | grad W ( =* *= Р?/Р<А, d=$c, й^ = (1-*М2) — . Вычисления выполнены для 7=1,40.
7 \ а0 /
Для течений с постоянной энергией уравнение, эквивалентное уравнению (42.8), было получено в работе Крокко 2). Приведенные здесь результаты представляют собой обобщение и упрощение рассуждений, содержащихся в этой работе. В заключение заметим, что введение функции тока W сопряженного течения имеет смысл только в случае совершенного газа. Отметим также, что функция тока № претерпевает разрыв на фронте ударной волны, тогда как исходная функция тока ф остается непрерывной.
Изэнпгропическое безвихревое течение. В этом случае уравнение (42.4) принимает простую и изящную форму, а именно
(с2 — U2)^ — 2uv<pXy + (с2 — (42.9)
Уравнение (42.9) можно получить при желании непосредственно из уравнения (42.2). Интересно, что потенциал скоростей удовлетворяет уравнению с такими же коэффициентами (см. п. 45).
*) С г о с с о L., Z. angew. Math, und Mech.% 17, 1 (1937).
126
Г л. 5. Идеальный газ
В случае совершенного газа при расчетах обычно используется несколько более удобное для этих целей уравнение, которому удовлетворяет функция тока сопряженного течения.
Осесимметричное течение. Исследование в этом случае полностью аналогично проведенному выше. Функцию тока можно определить следующим образом:
1 дф 1 дф
Путем выкладок, аналогичных TeNf, которые привели к уравнению (42.4), найдем, что функция ф удовлетворяет уравнению
(с2 — и2) (|»хх — 2иЩху 4- (С2 — V2) Фуу — с2 Ц- =
= — py(c2&-\-yq2BSf).
Член, стоящий в правой части уравнения, получается применением формулы a) = yp(TS/ — Н'). Для безвихревого течения правая часть обращается в нуль. В этом случае потенциал скорости удовлетворяет уравнению, мало отличающемуся от уравнения для функции тока:
(с2 — и2) ср ^ — 2uv(fxy + (с2 — v2) сруу + с2 ^ = 0.
Заметим в добавление, что пара функций тока для пространственных течений была введена Гизе1).
