Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вытекает равенство (О = 0 вдоль всей линии тока, проходящей через Р 2).
Непосредственные вычисления, в основе которых лежит уравнение Бельтрами, показывают, что для произвольной скалярной, векторной или тензорной функции F справедливо следующее тождество 3):
4г (у • sfad F)= у' srad ж+7rot а' ^ р¦ (40,8)
Соотношение (40.8) является кинематическим эквивалентом интересной формулы для завихренности, найденной Эрте-лем 4). Если в качестве F взять энтропию идеального газа,
1) Crocco L., Z. angew. Math. Mech.t 17, 1 (1937). Крокко записывал этот результат в виде ы/р = const на линиях тока.
2) Полезно сравнить полученный результат с теоремой Лагранжа — Коши (см. п. 17).
3) Т г u е s d е 11 С., Z. angew. Math. Phys., 2, 1 (1951); см. также [27], § 79, 98, 99.
4) Е г t е 1 Н., Naturwiss., 30, 543 (1942); Meteor. Z., 59, 277,
385 (1942); Phys. Z., 43, 526 (1942).
120
Гл. 5. Идеальный газ
то правая часть тождества (40.8) обратится в нуль и мы получим, что для фиксированной частицы жидкости
-у • grad 5 = const.
Этот результат был установлен Трусделлом; в работах, на которые мы только что ссылались, можно найти другие интересные следствия формулы (40.8).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы Бьеркнеса о циркуляции.
Рассмотрим теперь следствия выведенного выше уравнения Кельвина (40.2). Воспользовавшись уравнением движения в форме (40.3), мы получим, что
(j) v • dx = — (j) idp\
© ©
последний интеграл, как легко видеть, дает площадь ограниченной образом кривой S области в плоскости р, т (см. рис. 5). Таким образом,
A-?vdx=±^.
где — площадь указанной области плоскости /?, т. Так как в случае баротропного течения образ кривой (Е представляет собой однозначную функцию р = р (т), отсюда следует, в частности, теорема Кельвина о циркуляции, уста-
гг
новленная в п. 25. Другую интерпретацию величины ^tdp
можно получить, если натянуть на кривую (5 ориентированную поверхность © и нанести на этой поверхности линии
41. Уравнения движения в естественных координатах 121
р = 0, ±1, ±2, ... и т = 0, ±1, ±2.................Обращаясь
снова к рис. 5, мы видим, что
-^т- (К v • dx = ± Число ячеек (р, т) на ©.
dt <s
Этот изящный результат носит название теоремы Бьеркнеса *). Вместо ячеек (р, т) можно было бы рассматривать ячейки (Г, 5), так как в силу формулы (40.4)
(J) т dp — — (j) Т ds.
Заметим в заключение, что нетрудно проверить справедливость теоремы Бьеркнеса и в том случае, когда в области течения допускаются слабые разрывы (см. п. 51).
§ 3. Специальные методы исследования двумерных течений
41. Уравнения движения в естественных координа-
тах. В п. 20 были выведены уравнения движения в естественных координатах для установившегося плоского течения, а именно уравнения
МЧ = —Ш' <41Л)
и уравнение неразрывности
^-(Р<7) + КР? = 0. (41.2)
Так как на линиях тока dp = с2 dp, то уравнение неразрыв-
ности (41.2) можно записать в несколько другом виде:
дч — Kq ¦ (\\ Ті
ds — м*-1* (41ld'
для этого надо воспользоваться первым из уравнений (41.1). В частном случае безвихревого движения из уравнений (41.1) можно при помощи интеграла Бернулли (37.2) исключить
давление, в результате чего получим
jg.— К* -*3- = гл (414)
ds М2 — 1 ’ дп Ч' {*1Л)
') В j е г k n е s V., Vidensk. Skr., № 5 (1898); Kgl. svenska Vet. Handl. (2), 31, № 4 (1898).
122
Гл. 5. Идеальный газ
42. Функция тока. Для несжимаемой жидкости функция тока была введена в п. 19. Высказанные там соображения можно использовать и в случае сжимаемой жидкости, если предположить, что течение является установившимся. Уравнение неразрывности установившегося плоского течения имеет вид
-gj- (Р*0 + -jjf (р'1') = °-
Легко видеть отсюда, что функцию тока ф = ф (л:, у) можно определить следующим образом:
?“ = -$-> Р® = --й-- (42Л>
При таком определении линии ф = const являются, очевидно, линиями тока.
Воспользовавшись уравнениями (17.8) и (42.1), мы сразу получаем уравнение
Ф^ + Фуу — v*- grad р = — pm, (42.2)
где v* — вектор с компонентами (—и). Этому уравнению относительно ф можно придать более совершенную форму, преобразовав член v* • grad р. Преобразования носят стандартный характер, однако в некоторых современных работах они излагаются, некорректно, поэтому мы приводим их ниже. Начнем с очевидных соотношений:
(і) X V = 0)V*.
grad q2 = р~2 [grad (p2q2) — 2pg*2 grad p], grad p = c2 grad p -\-B grad 5,
(42.3)
где B = (dp/dS)9. Подставив выражения (42.3) в уравнение (38.1) и разрешив его относительно grad р, получим, что
grad р = (pq2 — рс2) [p2a>v* + рВ grad 5 + grad l/2 (р2?2)].
Наконец, подставив последнее выражение в уравнение (42.2) и заметив, что
grad (р2?2) = grad (ф2 + ф2), grad «S = pv^S',
42. Функция тока
123
где S' — dS/dty, мы после некоторых упрощений придем к уравнению
(с2—и2) tyxx—2uv$xy + (с2—г»2) фуу = —р (с2со + q2BS'). (42.4)
Это и есть искомое уравнение для функции тока. (Этот вывод упрощается в случае изэнтропического течения и становится совсем простым, когда течение является одновременно изэн-тропическим и безвихревым.) Член, стоящий в правой части уравнения (42.4), можно связать с уравнением Крокко — Важоньи, которое для плоского течения имеет вид
