Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
дъ dv. дф dx
дп <2ф дп <2ф
зависит только от ф, линии тока представляют собой концентрические окружности.
Связь между теоремами 1 и 2 становится более ясной, если несколько ослабить доказываемые в них утверждения и сформулировать теоремы следующим образом.
В установившемся изэнтропическом течении с постоянной энергией вектор завихренности удовлетворяет соотношению
(!) X V SEE 0.
Если в области установившегося течения w X v = 0, то течение либо является изэнтропическим с постоянной энергией, либо имеет на линиях тока постоянную скорость.
Рассмотрим теперь установившееся течение газа, уравнение состояния которого имеет вид
P = P(P)E(S). (39.1)
Мы покажем, что либо 5, либо И всегда можно считать постоянными во всей области течения. В самом деле, рассмотрим сопряженное течение:
V =
т
-Lv, p* = m2p> 5* = S_1fm2S(5)]. (39.2)
где т — некоторая скалярная функция, принимающая на линиях тока постоянные значения. Нетрудно убедиться, •что так определенное сопряженное течение удовлетворяет уравнениям движения (35.1) — (35.3). Легко видеть также, что
г*
dp* 1
39. Изэнтропическое и изоэнергетаческое течения 117
и уравнение Бернулли имеет вид
19*2-]_/* = Я* =
Таким образом, сопряженное течение имеет такую же картину линий тока, такое же распределение давления и те же числа Маха, что и исходное течение. Замечаем далее, что если в качестве m взять m = 1IVUS), то энтропия сопряженного течения будет постоянной; если же положить пг = ]/77, то энергия сопряженного течения будет постоянной (последнее утверждение остается в силе даже тогда, когда в области течения имеют место ударные волны). Таким образом, действительно всегда можно сделать либо величину S, либо величину Н постоянной во всей области течения J).
В общем случае нельзя добиться, чтобы для сопряженного течения обе величины S и Н были постоянными. Точнее, сопряженное течение с постоянными S и Н существуют в том и только в том случае, когда давление торможения pQ постоянно во всей области течения.
(По определению, давление торможения р0 представляет собой величину давления, соответствующую ^ = 0 в уравнении Бернулли, так что / (Ро, S) = И. Легко видеть, что величина р0 постоянна на линиях тока.) Для доказательства сформулированного утверждения заметим, что если р0 постоянно во всей области течения, то и р*0 также постоянно в силу равенства этих давлений. Выбрав т так, чтобы величина S* была постоянной, мы получим течение, для которого величина Н* также постоянна. Необходимость проверяется аналогично.
В силу уравнения Крокко — Важоньи для течений с постоянными S* и И* имеет место соотношение
о>* X v* = 0 (39.3)
(уравнение Крокко — Важоньи справедливо, конечно, и для сопряженного течения). Течения, удовлетворяющие условию (39.3), носят название обобщенных течений Бельтрами. Этот класс течений получается из течений Бельтрами (ю X v = 0) заменой (39.2).
В заключение мы отметим, что рассмотрение сопряженных течений представляет интерес главным образом для вихревых движений и применяется только в случае установившегося течения газа, уравнение состояния которого записывается в виде (39.1).
•) Munk М., Р г і m R., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 33, 137 (1947).
m
Гл. 5. Идеальный газ
40. Диффузия завихренности. Основные кинематические уравнения, которым удовлетворяет распределение завихренности произвольного движения жидкости, были выведены в п. 17 и 25. Этими уравнениями являются уравнение Бельтрами
¦^(f) = f' v + 7rota (40Л)
и уравнение Кельвина
~ (j) v • dx = (j) а • dx. (40.2)
©
Применив уравнения (40.1) и (40.2) к случаю неизэнтропи-ческого движения идеального газа, мы получим несколько важных результатов.
Нам удобно записать уравнения движения в виде
а = — Tgradp, (40.3)
где т= 1/р — удельный объем газа. Применив к обеим частям уравнения (40.3) оператор rot и воспользовавшись термодинамическим тождеством
xdp = — TdS + dl, (40.4)
мы получим
rot а = grad Т X grad S.
Найденное представление для rot а позволяет записать уравнение (40.1) в виде уравнения завихренности Важоньи 1):
w(T)=f-^adv + 7grad7’Xgrad5' (40,5)
При отсутствии второго члена в правой части этого уравнения из него следовали бы теоремы Гельмгольца. Этот член показывает, однако, что неоднородное поле энтропии вызывает диффузию завихренности и вследствие этого нарушается четкая картина переноса завихренности, устанавливаемая теоремами Гельмгольца.
l) Vazsonyi A., Quart. Appl. Math., З, 29 (1945).
40. Диффузия завихренности
119
Для установившегося течения с постоянной энергией в силу уравнения Крокко — Важоньи справедливо следующее соотношение:
grad Т X grad S = T~l [grad Т X («> X v)] =
= r[v(».grad4-)-«A(^)].
Подставив полученное выражение для grad Т X grad *S в уравнение (40.5), мы получим после некоторых упрощений уравнение
ж(^) = 7^гас1(т)- <40-6)
Для плоских течений из уравнения (40.6) следует, что на
линиях тока
= const. (40.7)
Этот результат был впервые получен Крокко *) для частного случая совершенного газа. Заметим, что для установившихся течений с постоянной энергией из равенства (*> = 0 в некоторой точке Р области течения в силу уравнения (40.7)
