Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 36

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 82 >> Следующая

І = Е + ЗІТ = І(Т) и с2 = ч§1Т=с2(Т).
Таким образом, для любого течения, у которого И = const, независимо от того, будет ли это течение изэнтропическим, выполняется соотношение
q2-\-1 {с2) — const.
Для несовершенных газов энтальпия зависит как от с2, так и от S.
Можно отметить в заключение, что в силу уравнения (38.3) величина Н для установившегося течения равна
1) G г о с с о L., Rend. Lincei (6), 23, 115 (1936); Z. angew. Mathu Mech., 17, 1 (1937).
2) Vazsonyi A., Quart. AppL Math., 3, 29 (1945).
8 Зак. 1160
114
Гл. 5. Идеальный газ
значению „энтальпии торможения" /0, т. е. энтальпии, которую имела бы частица жидкости, если бы она в некоторый момент времени остановилась.
39. Изэнтропическое течение, изоэнергетическое течение и безвихревое установившееся течение. Мы хотим выяснить, как связаны между собой установившиеся течения следующих типов:
изэнтропическое течение 5 = const, изоэнергетическое течение Н = const, безвихревое течение wsO.
Интерес к течениям этих типов обусловлен их относительной простотой и широким применением.
Рассмотрим сначала течение, возникшее из состояния равномерного движения с постоянной температурой, давлением, плотностью и т. д. Если это течение является непрерывным, то в силу уравнения (35.3) величина энтропии постоянна во всей области течения, и здесь можно воспользоваться рассуждениями, проведенными в п. 21. Из аналогичных соображений вытекает постоянство энергии и потенциальность движения. Энергия будет постоянной даже в том случае, когда имеют место ударные волны, однако течение является при этом, вообще говоря, неизэнтропическим. Сформулируем теперь результаты исследования поставленного вопроса о соотношении течений различных типов в виде теорем.
Теорема 1. Плоское (или осесимметричное) уста-повившееся изэнтропическое течение с постоянной энергией является безвихревым.
Доказательство. В силу уравнения Крокко—Важоньи во всей области течения со X v = 0. Следовательно, о> = 0, за исключением, быть может, тех точек, где скорость равна нулю. Если эти точки являются изолированными, то по непрерывности а) = 0 всюду; с другой стороны, если эти точки заполняют некоторую область, то очевидно, что в этой области со = 0.
Ниже следует теорема, в некотором смысле обратная предыдущей. Эта теорема применима и в трехмерном случае.
Теорема 2. Установившееся безвихревое течение либо является изэнтропическим и имеет постоянную
39. Изэнтропическое и изоэнергетическое течения 115
энергию, либо представляет собой течение геликоидального типа *),
Доказательство. Если данное безвихревое течение является изэнтропическим, то оно будет иметь также постоянную энергию в силу уравнения Крокко — Важоньи. Таким образом, мы должны доказать, что если в некоторой области течение не является изэнтропическим‘, то оно геликоидально в этой области. Разобьем доказательство на две части. Покажем сначала, что на любой линии тока скорость и плотность постоянны. Воспользовавшись уравнением (38.1) и уравнением состояния (35.4), получим
Т> grad q2 =:= — і- grad p = — -j (/p grad p fs grad S).
Первая часть этого равенства означает, что q = q(p) и (всюду, где grad р Ф 0) р = р (р). Тогда из второй части равенства следует, что во всей рассматриваемой области
grad р X grad 5 = 0.
Таким образом, р = р (S) и в силу первого замечания q = q (5), р = р(5). Так как на линиях тока S = const, первая часть доказательства завершена.
Докажем теперь, что безвихревое течение является геликоидальным, если скорость и плотность постоянны на любой линии тока в области течения. Так как вдоль линии тока величина р постоянна, уравнение (35.1) сводится к условию divv = 0. Принимая во внимание потенциальность течения, мы видим, что потенциал ср является гармонической функцией; кроме того, на линиях тока | grad ср | = const. Теперь мы можем сослаться на результат Гамеля 2), согласно которому течение с описанными выше свойствами является геликоидальным.
*) Течение геликоидального типа представляет собой суперпозицию плоского вихря и параллельного переноса вдоль оси этого вихря с постоянной скоростью. Сформулированный результат принадлежит Джил^аргу [О і 1 b а г g D., Amer. J. Math., 71, 687 (1949)].
2) Н a m е 1 О., Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl., 5—20 (1937); см. также работу Прима [Prim R. С., J. Rational Mech. Anal., 1, 425 (1952)], в которой результат Гамеля обобщается на более широкий класс течений.
116
Гл. 5. Идеальный газ
Так как доказательство Гамеля является очень сложным, мы дадим здесь в качестве добавления элементарное доказательство этого факта в случае плоского течения. (Ясно, что геликоидальное течение в этом случае представляет собой течение с точечным вихрем.) Из уравнения (20.5), носящего чисто кинематический характер и справедливого поэтому для любого двумерного течения, вытекает следующая формула для кривизны линий тока:
1 dq I dq дф dq '
Х q дп q dty дп ^ <2ф ’ ^ #(Ф)*
где ф — функция тока. Мы видим из этой формулы, что величина * постоянна вдоль линии тока и, следовательно, линии тока являются окружностями. Более того, так как производная
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed