Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
аЕЗт^(Рс>>0- <37-7>
В силу определения величины М, уравнения (37.4) и формулы (37.7)
+ (37.8)
Очевидно, что dM/dq>0 при М^1; таким образом, для фиксированного уравнения состояния существует только одно значение скорости q = при котором М=1. При <7 < <7* течение называется дозвуковым (М < 1), при q > q* — сверхзвуковым (М > 1); величина q* носит название критической скорости.
Заметим, что характер изменения величины потока массы Q = pq существенно меняется при переходе через критическое значение скорости q. Действительно, в силу уравнения (37.4)
¦^г(р?) = р(1 —М2); (37.9)
!) Неравенство (37.6), естественно, возникает и в других разделах газовой динамики; например, для адиабатической волны сжатия это условие обеспечивает возрастание крутизны профиля скорости (см. [21], § 41). Это условие встречается также в теории Вейля ударного перехода, изложенной в п. 56, где будут рассмотрены различные следствия неравенства (37.6). Очевидно, что неравенство (37.6) выполняется для идеального газа с постоянными удельными теплоемкостями.
37. Уравнение Бернулли
111
следовательно, при q < величина рq возрастает при увеличении скорости, а при q > q^ убывает. Мы видим отсюда, что при заданной величине потока массы рq возможны два различных режима течения: дозвуковой и сверхзвуковой.
Описанный характер изменения потока массы помогает понять многие явления газовой динамики, связанные с переходом через максимальное значение Q# потока массы. В качестве иллюстрации установленных закономерностей может служить рис. 4, на котором показана зависимость рq от М для со- 1
вершенного газа с постоян- 0*1--------
ными удельными теплоемкостями.
Зависимость плотности от числа Маха очень просто получить при помощи формулы
rfp dp dq
dM2 ~dq d№~
__ P
— 2 [1 + (л— 1)M2] '
которая вытекает непосредственно из уравнений (37.4) и
(37.8). Разделив переменные и выполнив интегрирование, мы получим равенство м2
О
так что для произвольного газа
Р = Ро(! --^М2 + ^=^-М^-Ь ...)• (37.10)
Это соотношение показывает, как медленно изменяется плотность в зависимости от числа Маха при малых значениях М. _______
В табл. 1 указаны значения р, pq и р/]А —М2 как функции от М в случае совершенного газа. Последняя величина при малых числах Маха почти не меняется.
Рис. 4. Зависимость потока массы Q = pq от числа Маха для установившегося изэнтропиче-ского течения.
112
Г л. 5. Идеальный газ
Таблица 1
Переменные состояния для установившегося изэнтропического течения совершенного газа (у = 1,40)
Дозвуковое течение Сверхзвуковое течение
м q JL pofc м q р JL Ро
q* ро Q* q* Ро Q* Ро
0,1 0,109 0,995 0,172 1,000 1,1 1,082 0,582 0,992 0.999
0,2 0,218 0,980 0,337 1,000 1,2 1,158 0,531 0,970 0,993
0,3 0,326 0,956 0,491 0,998 1,3 1,231 0,483 0,938 0,979
0,4 0,431 0,924 0,629 0,992 1,4 1,300 0,437 0,897 0,958
0,5 0,535 0,885 0,746 0,978 1,5 1,365 0,395 0,850 0,930
0,6 0,635 0,840 0,842 0,952 1,7 1,483 0,320 0,748 0,856
0,7 0,732 0,792 0,914 0,903 2,0 1,633 0,230 0,593 0,721
0,8 0,825 0,740 0,963 0,810 3,5 2,064 0,045 0,147 0,213
0,9 0,915 0,687 0,991 0,635 5,0 2,236 0,011 0,040 0,062
1,0 1,000 0,634 1,000 0 оо 2,449 0 0 0
Обозначения. Q-^q, & = р Vl — М2, /7о—* давление торможения за ударной волной.
Замечание. Последний столбец служит также для определения отношений ро/ро» Q*/Q*, см. формулу (55.7). Скачок энтропии при переходе через ударную волну определяется по формуле AS — л \og(po/po)’
38. Уравнение Крокко — Важоньи. В этом пункте рассматривается установившееся неизэнтропическое движение. Предположив, что поле внешних сил f равно нулю, из уравнений (35.2) и (17.1) получим, что
to X v = — grad ~ q2 — у grad p. (38.1)
Легко видеть, что в силу определения удельной энтальпии 1 = Е -|- р/р имеет место равенство
grad /= Т grad 5 -j- у grad p.
Исключив из этих двух уравнений grad р, мы придем к важному уравнению
о) X v = Тgrad 5 — grad Я, (38.2)
где Н = 72 q2-\-I.
38. Уравнение Крокко — Важоньи
113
В частном случае совершенного газа при Н = const уравнение (38.2) было получено в работе Крокко !). Для общего случая этот результат принадлежит Важоньи 2).
Из формулы (38.2) следует, что завихренность в неизэн-тропическом течении, вообще говоря, отлична от нуля. В частности, из неизэнтропичности течения за искривленным ударным фронтом следует завихренцость этого течения.
Умножив скалярно обе части уравнения (38.2) на v и заметив, что в установившемся течении v • grad 5 = 0, мы получим соотношение v-grad//=0; следовательно
Н = ~ q2-\-1 = const на линии тока. (38.3) Далее, поскольку {dljdp)s = 1/р, мы имеем
р
1=f ар/р'>
о
здесь предполагается, что / = 0 при р — 0 (интеграл, конечно, берется при постоянном S). Уравнение (38.3) является обобщением уравнения Бернулли, приведенного в предыдущем пункте, и сводится к последнему при to = grad 5 = 0. Если величины 5 и Н известны, то уравнение (38.3) устанавливает зависимость плотности и давления от q.
Заметим, что для совершенного газа энтальпия зависит только от скорости звука. Это следует из того, что
