Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Иначе обстоит дело, если считать, что символы, входящие в формулу (1.2), обозначают не сами величины, а числа, которыми эти величины выражаются при том или ином выборе единиц измерения соответствующих величин, в данном случае длины и площади. В этом случае каждый символ уже сам по существу представляет собой отношение данной величины к другой однородной величине, принятой за единицу. При таком понимании символов, входящих в выражение любой
18
общие понятия о системах единиц
[гл. 1
физической закономерности, к иим можно применить операции умножения, деления, возведения в степень и т. д., а сами формулы могут быть подвергнуты различным преобразованиям. В частности, формулу (1.2) можно представить в другом виде, например
ТН4. (1.26)
'1 *2
Поэтому всегда при математической формулировке и при изложении различных физических явлений и законов, которым эти явления подчиняются, и их теоретическом анализе под символами физических величин понимают числа, которыми эти величины выражаются при принятых единицах измерения. В дальнейшем мы также всегда будем придерживаться такого понимания символов.
С этой точки зрения формулу (1.26) можно выразить словами следующим образом: «для геометрически подобных фигур отношение числа, выражающего площадь фигуры, ко второй степени числа, выражающего соответствующий линейный размер фигуры, есть величина постоянная». Обозначая эту постоянную К, можно вместо (1.26) написать
S = Kl2, (1.3)
где коэффициент К зависит, с одной стороны, от формы измеряемой геометрической фигуры, а с другой — от выбора единиц длины и площади*).
Как было сказано, в принципе эти единицы можно выбрать совершенно независимо друг от друга. Однако наличие зависимости размера площади от линейных размеров фигуры позволяет связать единицы площади с единицами длины, т. е. сделать единицу площади производной от единицы длины. Для этого следует условиться принимать в качестве единицы площади площадь определенной фигуры, линейный размер которой
*) Здесь и в дальнейшем мы будем использовать символ К для общего обозначения коэффициента пропорциональности в формулах физических законов и определений независимо от его конкретного значения. В отдельных случаях, когда это представится целесообразным, коэффициент К будет снабжаться, тем или иным индексом.
§ 1.3] основные и производные единицы
19
равен некоторому условно принятому числу единиц длины. Обычно в геометрии это делается следующим образом: взяв за основу какую-либо единицу длины, например метр, принимают за единицу площади площадь квадрата, сторона которого равна выбранной единице длины, в данном случае метру. Эта единица площади, как известно, называется «квадратный метр» (кв. м). Полагая в формуле (1.3) /= 1м, можем написать:
1 кв. M = K(I м)2, (1.3а)
откуда
К = 1 кв. мім2,
и соответственно формулу (1.3) можно представить в виде
s кв. м = (l (/ Mf. (1.36)
Если, не меняя единиц длины и площади, аналогичным образом переписать формулу (1.3) для круга, то получим
s кв. м = (I м)2 (1.3в)
'(где / — диаметр круга), так как в этом случае коэффициент К будет равен я/4 кв.м,/м2.
Разумеется, принятая связь единицы площади с единицей длины может быть сохранена и при любой другой единице длины. При этом формулу (1.3) можно переписать для квадрата в виде
S = /2, (1.4)
и для круга
S = -^-/2. (1.4а)
Формулы (1.4) и (1.4а) можно выразить словами следующим образом: «если за единицу площади принять площадь квадрата, сторона которого равна единице длины, то число, выражающее площадь любого квадрата, будет равно второй степени числа, выражающего длину его стороны, а число, выражающее площадь любого круга, будет равно умноженной на я/4 второй степени числа, измеряющего его диаметр».
20
общие понятия о системах единиц
[гл. 1
Разумеется, такого рода формулировки чрезвычайно громоздки, а потому их заменяют более краткими: «площадь квадрата равна второй степени его стороны» и «площадь круга равна умноженной на зг/4 второй сте-пени его диаметра», молчаливо предполагая, что речь идет о числах, которыми выражаются соответствующие величины при надлежащем выборе единиц измерения.
Рассмотренный пример наглядно показывает способ, с помощью которого устанавливается производная единица. Для этого следует:
1) выбрать величины, единицы которых принимаются в качестве основных;
2) установить размер основных единиц;
3) выбрать определяющее соотношение, связывающее величины, измеряемые основными единицами, с величиной, для которой устанавливается производная единица;
4) приравнять единице (или другому постоянному числу) коэффициент пропорциональности, входящий в определяющее соотношение.
Разумеется, символы всех величин, входящих в определяющее соотношение, должны обозначать не сами величины, а их численные значения.
В дальнейшем мы будем условно называть основными величины, измеряемые основными единицами, а производными — измеряемые производными единицами. Следует особо подчеркнуть, что эти общепринятые наименования — «основные величины» и «производные величины» — ни в коем случае не следует понимать в том смысле, что первые имеют какие-то принципиальные привилегии или преимущества перед вторыми. Величины, которые при одном выборе приняты за основные, при другом могут быть производными и наоборот.
