Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
6. Второй закон Ньютона, записанный в форме
ft = mv2 — mvl, (2.21)
где произведение ft называется импульсом силы, а mv — количеством движения *), определяет размерность силы
[/] = LMT~2. (2.25)
В дальнейшем, исследуя единицы измерения производных величин, мы всегда будем обращаться к формулам размерности.
Формула размерности производной единицы часто определяет и ее название, и ее символическое обозначение. Например, единица скорости «метр в секунду» обозначается м/сек, единица площади «квадратный метр» — м2 и т. д.
§ 2.2. Перевод размерности при различном выборе основных единиц
Если, не меняя определяющих соотношений, изменить подбор величин, единицы которых приняты за основные, то соответственно изменится и вид формул размерности, например при переходе от системы СИ или СГС к системе МКГСС, в которой в числе основных величин вместо массы принята сила. Переход от одной системы к другой может быть в этом случае произведен, если в формулах размерности заменить размерность
*) Термин «количество движения» применяется в настоящее время преимущественно в теоретической механике. В теории относительности, квантовой механике, атомной и ядерной физике обычно пользуются термином «импульс».
48
перевод единиц и формулы размерности [гл. 2
соответствующей основной единицы ее размерностью, выраженной в другой системе. Обозначая размерность силы в технической системе символом F, можем из формулы (2.25) получить размерность массы в системе МКГСС
M = [т] = L'1FT2. (2.26)
Подставляя из этой формулы размерность M в формулы размерностей различных величин в системах СИ и СГС, получим размерности этих величин в системе МКГСС. Так, например, соответствующая размерность кинетической энергии
[WK] = LF. (2.27)
В качестве примера обратного перевода можно привести размерность давления и механического напряжения, которая в системе МКГСС будет
[p] = L~2F (2.28)
и соответственно в системах СИ и СГС
[р] = L-1MT'2. (2.29)
§ 2.3. Перевод размерностей при различных определяющих соотношениях
При установлении производной единицы с помощью определяющего соотношения, т. е. математической формулировки определения или закона, связывающего данную величину с величинами, принятыми за основные или ранее определенными, полагают равным единице или другому постоянному числу стоящий в соотношении коэффициент пропорциональности.
С точки зрения построения формул размерности это значит, что мы лишаем его размерности относительно основных единиц, или, что то же, придаем ему нулевую размерность. Иначе говоря, мы договариваемся считать коэффициент неизменным при любом изменении основных единиц при условии, что остается неизменным определяющее соотношение. Если же это условие не соблюдается, и мы для определения производной единицы
§ 2,3] различные определяющие соотношения 49
используем другое определяющее соотношение, то coot* ветственно может измениться и коэффициент пропорциональности. Так, например, если для определения едини* цы площади пользоваться не площадью квадрата, а площадью круга, то, как мы видели (см. § 1.4), коэф-фициент пропорциональности в формуле площади квадрата становится равным не единице, а 4/я, поскольку коэффициент пропорциональности принимается равным единице в новом определяющем соотношении (формула площади круга). Переход от квадратных к круглым единицам площади заставляет соответственно изменить коэффициенты пропорциональности во всех формулах, относящихся к измерению площадей. При этом, однако, размерность площади
[s] = L2
останется неизменной, поскольку мы и в этом случае используем по сути дела ту же теорему о связи площади геометрических фигур с их линейными размерами и считаем коэффициент пропорциональности в частном выражении этой теоремы (формула площади круга) равным единице.
Разобранный пример можно, впрочем, рассматривать даже не как переход от одного определяющего соотношения к другому, а как замену в формуле площади квадрата коэффициента пропорциональности, принятого раньше за единицу, на 4/зх.
Возможно, однако, такое изменение определяющего соотношения, которое сделает коэффициент пропорциональности размерным, т. е. зависящим от размера основных единиц. Наиболее наглядно это можно видеть на примере установления единицы силы как производной единицы в системах, в которых основными величинами являются длина, масса и время. При обычном определении единицы силы с помощью второго закона Ньютона мы получили размерность силы (см. формулу (2.25))
[f] = LMT .
Если подставить эту размерность в выражение закона всемирного тяготения (1.10), то для гравитационной
59 перевод единиц и формулы размерности [гл. 2
*) Здесь и далее мы будем употреблять для гравитационной постоянной ее общепринятое обозначение G.
постоянной получится размерность
[G] = L3M-1J"2 *). (2.30)
Наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных единиц. Для определения этой зависимости следует вспомнить, что формула размерности показывает, как изменяется производная единица при изменении основных единиц. Поэтому, вводя условно «единицу измерения гравитационной постоянной», можем на основании (2.30) сказать, что эта «единица» изменяется пропорционально кубу единицы длины, обратно пропорционально единице массы и обратно пропорционально квадрату единицы времени. Поскольку численное значение величины при изменении единиц, ее измеряющих, меняется в обратном отношении (см. (1.1)), то, следовательно, численное значение гравитационной постоянной будет обратно пропорционально кубу единицы длины и прямо пропорционально единице массы и квадрату единицы времени. Так, если при основных единицах -— метре, килограмме и секунде — гравитационная постоянная численно равна 6,67•1O-11, то при переходе к основным единицам — сантиметру, грамму и секунде —¦ она примет значение 6,67- 10~8.
