Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
[A] = LpM"Tr, (2.1)
где квадратные скобки, в которые поставлен символ величины А, означают, что речь идет о размерности единицы этой величины, а символы L, M и T представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, времени и массы без указания конкретного размера единиц.
Формулу (2.1) можно трактовать в том смысле, что если отношения единиц длины, массы и времени в двух системах равны соответственно L, M и Т, то отношения производных единиц будут равны LpMiV.
Формула (2.1) называется формулой размерности единицы данной величины или, как часто для краткости говорят, размерностью данной величины. Легко видеть, что формула размерности может быть написана только для таких величин, количественная характеристика которых удовлетворяет условию абсолютного значения относительного количества. При этом оказывается, что при любом выборе основных единиц формула размерности производной единицы представляет собой одночлен, составленный из произведения символов основных единиц в некоторых степенях, причем
44
перевод единиц и формулы размерности [гл. 2
степени эти могут быть положительными и отрицательными, целыми и дробными*).
При образовании формул размерности производных единиц мы будем пользоваться следующими теоремами:
1. Если численное значение величины С равно произведению численных значений величин А и В, то размерность С равна произведению размерностей А и В:
[Q = [A]-[B], (2.2)
иначе говоря, если
[A] = ЬРаМ"аҐа
и
[B] = LpbM"bTrb,
то
\С\ = LWmWbT****. (2.3)
2. Если численное значение величины С равно отношению численных значений величин A vi В, то размерность С равна отношению размерностей А и В:
или
[C] = Lp"-pi>MQ<*-qbTr<rrK (2.5)
3. Если численное значение величины С равно степени п численного значения величины А, то размерность С равна степени п размерности А:
[С] = [A"] = [A]". (2.6)
В этом случае, если
[А] = ISM9T',
то
[C] = Lp"MQ"Trn. (2.7)
Доказательства всех этих теорем очень просты, вследствие чего мы ограничимся лишь тем, что докажем первую из них.
*) Простое доказательство этого положения желающие могут найти в книге: П. В. Б р и д ж м э н, Анализ размерностей, ОНТИ ГТТИ, 1934.
формулы размерности
45
Если численное значение величины С равно произведению численных значений величин А и В, то это значит, что при измерении этих величин единицами С\, щ и Ь{ мы будем иметь
C1 = AxBy, (2.8)
где
C1 = -^, Al = ~?' ?l = -&- (2-9)
Соответственно при измерении тех же величин единицами с2, аг и Ь2
C2=A2B2, (2.10)
где
C2 = — , A2 = — , B2 = —- (2.11)
г C2' г а2 ' 1 Ь2 v '
Беря отношение (2.8) и (2.10) и принимая во внимание (2.9) и (2.10), получим
C2 _ Й2_ _ Ъ?_
Ci а\ bi
Если
(2.12)
2L = LPaM^F" (2.13)
а
то
h- = LpbMqbTrb, (2.14)
ft
Si. = iPa^bMq^"bTr»+rb. (2.15)
что и требовалось доказать. Очевидно, что таким же путем легко могут быть доказаны и остальные теоремы.
Важно отметить следующее обстоятельство. Так как способ построения производной единицы включает в себя приравнивание единице (или иному произвольному постоянному числу, не зависящему от размера основных единиц) коэффициента пропорциональности в определяющем соотношении, то это означает, что мы условливаемся считать этот коэффициент нулевой размерности, или, как говорят, безразмерным. Разумеется, кроме того, и любой постоянный числовой коэффициент, полученный при каких-либо математических операциях, также следует считать безразмерным.
46
перевод единиц и формулы размерности [гл. 2
Поясним сказанное примерами. . 1. Размерность площади квадрата
M== [If ^L2M0T0 (2.16)
или, опуская здесь, как и в дальнейшем, символы основных единиц, стоящие в нулевой размерности,
M = ^2. (2.17)
2. Размерность площади круга
M = ITN2=^2. (2.18)
поскольку коэффициент л/4 является постоянным коэффициентом, не зависящим от размера основных единиц, а потому безразмерным. Поэтому размерность площади любой геометрической фигуры, независимо от ее формы будет
[s] = L2. (2.19)
3. Размерность скорости можно определить из формулы скорости равномерного движения:
M = JJj=Lr1. (2.20)
4. Размерность ускорения определяется из формулы ускорения равномерно ускоренного движения:
[o]= IHl^5=Lr2. (2.21)
Для наглядности воспользуемся последней формулой для того, чтобы определить, как изменится единица ускорения, если от измерения длины в метрах и времени в секундах перейти к измерению длины в километрах и времени в минутах. При таком переходе единица длины увеличивается в 1000 раз, а единица времени в 60 раз. Согласно формуле (2.21) единица ускорения изменится в 1000/602 = 10/36 раза, т. е. новая единица ускорения будет равна 0,278 старой.
5. Размерность кинетической энергии, определяемой формулой
WK = ^?1, (2.22)
§ 2.2]
различный выбор основных единиц
47
будет, очевидно, равна (в системах СИ и СГС)
WK = L2MT'2. (2.23)
Из последней формулы, в частности, вытекает, что если перейти при измерениях длины от сантиметров к метрам, а при измерении массы от граммов к килограммам и сохранить единицу времени секунду, то единица кинетической энергии увеличивается в (10O)2-1000 = = 107 раз.
