Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
/ = та.
(1.7в)
dA = Kf • dl cos(/, dl),
(1.8)
24
общие понятия о системах единиц
[гл. i
другие выражают обнаруженную экспериментально или теоретически связь между исследуемыми величинами. К закономерностям этого типа относятся: закон всемирного тяготения, закон Кулона о взаимодействии электрических зарядов и др. Впрочем, такое деление соотношений на «определения» и «законы» не является абсолютным и зависит от подхода к данному конкретному вопросу. Это, однако, не играет существенной роли в определении новых единиц, поскольку в обоих случаях закономерности представляются в виде формул, связывающих данную величину с другими, для которых единицы установлены ранее.
В связи с изложенной выше программой образования производных единиц и построения системы единиц встает естественный вопрос: в какой мере мы свободны в выборе основных величин (в частности, их числа), определяющих соотношений и коэффициентов пропорциональности. Вряд ли вызывает сомнение вопрос о произвольности выбора размера основных единиц. Существование систем, в которых принимаются в качестве основных разные единицы длины (метр и сантиметр) и разные единицы массы (килограмм и грамм), наглядно иллюстрируют наличие в принципе полного произвола в таком выборе.
Легко далее показать, что полный произвол имеется и в выборе коэффициентов пропорциональности в определяющих соотношениях. С этой целью вернемся к рассмотренному выше примеру с установлением единицы площади. Выбрав в качестве единицы длины метр, мы в качестве единицы площади приняли квадратный метр-* площадь квадрата, сторона которого равна метру. Однако такой способ установления производной единицы площади, хотя и имеет определенные практические преимущества, отнюдь не является обязательным. Можно, например, за единицу площади принять площадь круга, диаметр которого равен одному метру. Назовем эту единицу площади «круглый метр»—(кр.м). Такой способ установления единицы площади равносилен замене коэффициента в формуле (1.3в) с л/4 кв.м/м2 на кр.м/м2, а в формуле (1.36) с 1 кв.м/м2 на 4/п кр.м/м2.
§ 1.4]
построение систем единиц
25
Соответственно формулы (1.4) и (1.4а) примут вид
s = ~^-/2 (площадь квадрата) (1.9)
и
S = /2 (площадь круга). (1.9а)
Следует заметить, что измерение площади не в квадратных, а в круглых метрах не является чем-то неестественным или, тем более, противозаконным. Речь здесь может идти только о практических преимуществах той или иной единицы*). Разумеется, если бы в качестве единицы площади вместо квадратного метра был принят круглый метр, то формулы, выражающие площади различных геометрических фигур, изменили бы свой вид. Так, например, площадь равностороннего треугольника выражалась бы формулой
S = —/2. (1.96)
При этом, независимо от того, как определена единица площади: как квадратный метр или как круглый метр, ее обозначение будет м2. Это показывает, что символ производной единицы, включающий в себя обозна-* чения основных единиц, сам по себе ничего не говорит о размере этой производной единицы. Уместно здесь же отметить, что общепринятость квадратных единиц площади и соответственно кубических единиц объема определила и названия второй и третьей степени чисел («квадрат числа» и «куб числа»).
В рассмотренном примере различные определяющие соотношения (площадь круга и площадь квадрата) привели лишь к изменению численных коэффициентов в формулах, так как по сути дела нами была использована одна и та же геометрическая закономерность, связывающая площади подобных фигур с их линейными размерами.
Возможность выбора существенно различных определяющих соотношений для установления производной
*) Заметим кстати, что в США круглые единицы площади применяются для измерения площадей труб, балок круглого сечения и т. д.
26
общие понятия o системах единиц
[гл. i
единицы одной величины мы покажем на примере установления единицы силы. Как мы уже говорили, обычно для этой цели используется второй закон Ньютона, который математически может быть представлен в виде
f = Kma. (1.7)
Коэффициент пропорциональности К в формуле (1.7), зависящий от выбора единиц для входящих в формулу величин, назовем инерционной постоянной; будем обозначать его Кг. Во всех применяемых на практике системах единиц инерционную постоянную полагают равной единице, вследствие чего и становится возможной общепринятая сокращенная формулировка второго закона Ньютона: «сила равна произведению массы на ускорение».
Однако оставляя в качестве основных единицы длины, массы и времени, мы для определения единицы силы не ограничены только вторым законом Ньютона. В нашем распоряжении имеется закон всемирного тяготения, согласно которому любые две материальные точки притягиваются друг к другу с силою, прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Этот закон можно записать в виде
f-Kg^p-, (1.10)
где г — расстояние между тяготеющими точками, a Kg—¦ так называемая гравитационная постоянная*), численное значение которой зависит от выбора единиц. Опыт показал, что если в качестве основных единиц принять килограмм, метр и секунду, а производную единицу силы — ньютон определить из второго закона Ньютона, то гравитационная постоянная Kg оказывается равной 6,67- 10-11 н •M2Iкг2.
