Интегральная оптика для систем передачи и обработки информации - Семенов А.С.
ISBN 5-256-00738-6
Скачать (прямая ссылка):
мые различными функциями }{x/d): различных функций профиля f(x/d):
1 — ступенчатой; 2 —линейной; 3 —пара- / — экспоненциальной; 2 — ch-2(x/d); 3 —
болической; 4 — экспоненциальной; 5 — гауссовой; 4 — линейной: 5 — параболичес-
гауссовой; 6 — функцией обратного квад- кой; 6 — ступенчатой I86J
рата гиперболического косинуса; 7— дополнительной функцией ошибок
Задав определенные значения величин пл и Vo, мы можем найти значения тп для мод с различными индексами т и, следовательно, соответствующий им набор эффективных показателей преломления п*т в OB с данным профилем показателя преломления.
В градиентном волноводе поля ТЕ- и TM-мод удовлетворяют уравнению (1.3), в котором в общем случае под щ понимается соответствующая функция профиля показателя преломления I1(X). Аналитическое решение волнового уравнения (1.3) с rii — ni(xi
Таблица 1.1. Основные характеристики планарных градиентных волноводов с различными профилями показателя преломления
Профиль показатели преломления волновода Функция профиля j (xld) Толщина волновода D Функция дисперсионного уравнения (1.33) тп(Ь)
Ступенчатый 1 при O^x^d d (1-6)'/2
0 при х<0\ x>d
Линейный I - (x/d) 2d/3 (I - б)3/2
Параболический 1 — (x/d)* nd 14 0-6)
Экспоненциальный exp ( —x/d) 2d (1-6)'/2-
-6'/2 arctg (6—l — I)'/2
Гауссов j exp [ - (x/d)*] (я/2 )l/2d 0,56(1 -6) +
+ 0,44((1 -6)1/2~
- 6Va arctg (б"1-I)1/2]
Обратный квадрат ch~2 (xjd) nd/2 0-(,1/2)
гиперболического
косинуса
15 при лгХ) получено лишь для нескольких практически интересный случаев, в частности когда профиль показателя преломления градиентного волновода описывается экспоненциальной, параболической, линейной функциями, функцией обратного квадрата гиперболического косинуса и некоторыми другими. При достаточно малом градиенте показателя преломления ri\(x), в частности при Аи<СПі—«г, поля ТЕ- и TM-мод градиентного OB удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению для поперечных составляющих их полей и поэтому имеют одинаковые постоянные распространения ?m (т. е. вырождены по поляризации) и одинаковые пространственные распределения [16, 18].
Для экспоненциальной функции профиля показателя преломления градиентного OB f(?)=exp(—?) поперечное распределение поля мод Хт(х) имеет вид [16, 27]
(X) = Zvm [V ехр (- ХІЩ, (1.34)
где Jvm— функция Беоселя нецелого порядка vm = Vbmi/2-, т = 1, 2, 3,...
Для практически важного случая параболического профиля показателя преломления Д?) = 1—?2 поперечное распределение поля мод Хт(х) выражается следующим образом [18, 27]:
(X) = Am Нт_х (21/2/x/w) ехр [ _ {xjw)2\ t (1.35)
где Hm(z)—полином Эрмита порядка т, т=\, 2, 3,... ,W = = 2d/[ft(2niAn)]; Am—нормировочная постоянная. При нормировке
OO
функции (1.35) таким образом, что J" \Xm(x)\2dx=\, имеем Am=
— оо
= (Iftm-lZ2Inlwn1!2)l/2. В общем случае функции поперечного распределения поля мод Хт(х) градиентного волновода имеют осциллирующий характер с (т—1) узлами в области, где f(t)>bm, и экспоненциально спадают в глубину подложки как ехр (—|Ь1/2т).
В асимметричном градиентном OB с произвольным профилем показателя преломления П\(х) при условии, что —Щ, моды
волноводов могут быть описаны с помощью нормированного эффективного показателя преломления, параметра глубины профиля, эффективной ширины моды и параметра V. В этом случае для нахождения распределений полей мод применяют различные численные методы решения волнового уравнения (1.3) с соответствующей функцией П\(х). Для таких практически важных профилей показателя преломления щ(х) OB, описываемых гауссовой функцией /(?)=ехр(—?2) и дополнительной функцией ошибок /(!)=erfc(g), результаты численных расчетов полей мод можно найти, например, в работе [89]. Профили показателя преломления такого вида соответствуют решениям уравнения диффузии для соответствующих граничных условий. Для указанных функций профиля получены универсальные распределения полей мод в зависимости от нормированных параметров градиентного волново-16 ... да и показано, что ширина моды OB чувствительна к параметру V волновода и мало чувствительна к изменению формы самого профиля показателя преломления [89].
1.3. СВЯЗАННЫЕ ВОЛНЫ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ
Многие задачи волноводной оптики, и прежде всего касающиеся обмена мощностью между поверхностными волнами или модами OB, можно рассматривать на основе теории связанных волн. Любое возмущение параметров OB приводит к связи его мод, амплитуды которых медленно изменяются вдоль направления их распространения, причем предполагается, что на расстояниях порядка длины световой волны изменение их амплитуд мало. В общем случае теория связанных волн рассматривает связь между всеми модами OB, образующими полную ортогональную систему, т. е. в их число включаются и моды излучения.
Для большинства видов связи волн в OB можно ограничиться двухволновым приближением, когда учитывают связь только двух мод, для которых выполняется условие фазового синхронизма и обеспечивается значительный обмен мощностью, а всеми другими модами пренебрегают [41, 63]. Представим эти две интересующие нас монохроматические волны, являющиеся собственными модами невозмущенного волновода, в виде
