Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Узел Узел Узел Узел
Рис. 204.
же фазе). На рис. 204 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.
Продифференцировав уравнение (84.1) по х и t, мы найдем закон, по которому изменяется деформация среды е и скорость частиц ?:
є = Jj = — 2-у- a sin 2n-j- cos of, (84.5)
I = —¦ = — 2юа cos 2лsin tat. (84.6)
285
Уравнение (84.5) описывает стоячую волну деформации, а (84.6) — стоячую волну скорости. Из вида
этих уравнений следует, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами скорости и смещения (рис. 205). В то время как | и є достигают максимальных значений, I обращается в нуль, и наоборот. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний поток энергии в любсм сечении волны равен нулю.
§ 85. Колебания струны
В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз (рис. 206). Отсюда вытекает условие
t = nj или К = Ц- (п=1, 2, 3, ...)> (85.1)
286
Пучность е Узел є Рис. 205.
где I — длина струны. Длинам волн (85.1) соответствуют частоты
Vn = j^ = -%[n (n= 1, 2, 3,
9 • • •
)
(о — фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины, т. е. линейной плотностью струны). ________
Частоты Vn называются собственными частотами колебаний струны. Собственные частоты оказываются кратными частоте
чающие п = 2, 3, ..., носят
название обертонов (первый обертон соответствует п = 2, второй п = 3 и т. д.). В общем случае колебания струны могут представлять собой наложение несколь-ких стоячих волн с различными собственными частотами.
Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником. Когда источник и приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет равна частоте Vo колебаний источника. Если же источник или приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота v, воспринимаемая приемником, может оказаться отличной от vo. Это явление называется эффектом Допплера.
Для простоты предположим, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника' оист будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отрицательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника Wnp будем считать положительной, если приемник приближается к источнику, и
V
§ 86. Эффект Допплера
287
отрицательной, если приемник удаляется от источ» ника.
Если источник неподвижен и колеблется с частотой Vo, то к моменту, когда источник будет завершать vo-e колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь V (v — скорость рас-* пространения волны относительно среды). Следователь' но, порождаемые источником за секунду \>о «гребней» и «впадин» волны уложатся на -длине v. Если же источник движется относительно среды CO скоростью Гист, TP в момент, когда источник будет завершать vo-e колебание, «гребень», порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии v — иист
V0 колебаний Рис. 207.
(рис. 207). Следовательно, V0 «гребней» н «впадин» вол-* мы уложатся на длине v—vaoT, так что длина волны будет равна
¦ ^HCT
V0
(86.1)
Мимо неподвижного приемника пройдут за секунду «гребни» и «впадины», укладывающиеся на длине v. Если приемник движется со скоростью Onp, то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать «впадину», которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на V. Таким образом, приемник воспримет за секунду колебания, отвечающие «гребням» и «впадинам», укладывающимся на длине и + ^np (рис. 208), и будет колебаться с частотой
V =
V + Оцр
(86.2)
Подставив в (.86.2) выражение (86.1) для л, получаем:
V + Onp
(86.3)
288
Согласно формуле (86.3) при таком движении приемника и источника, что расстояние между ними сокращается, воспринимаемая приемником частота v оказывается больше частоты источника v0. Если расстояние между источником и приемником растет, V будет меньше, чем Vo.
