Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
') Правильнее называть коэффициентом поглощения величину, характеризующую убивание не амплитуды, а интенсивности волны. Эта величина равна 2\.
281
условии, что оба колебания, вызываемые каждой из волн в отдельности, имеют одинаковое направление (для этого расстояние между источниками'волн должно быть значительно меньше расстояния от источников до данной точки либо колебания должны иметь направление,
перпендикулярное к плоскости, в которой лежат источники и данная точка).
Пусть фазы колебаний источников Oi и O2 равны соответственно (со/ + а,) и (со/ + а2). Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний:
I1 = G1 cos (со/ + O1- кг,),
Рис. 201. t2 == а2 cos (Ы + O2 - kr2),
где Gi и G2 — амплитуды волн в рассматриваемой точке, k — волновое ЧИСЛО, Г\ и г2 — расстояния от источников волн до данной точки.
В точках, определяемых условием
k (г, - г2) - (а, - а2) = ± 2лп (п = О, 1, 2, ...), (83.1)
колебания усиливают друг друга и результирующее дви-жение представляет собой гармоническое колебание ча-стоты со с амплитудой («і + а2).
В точках, для которых
к(г^-г2)-(щ-а2)= ±2п[п+^ (п = 0, 1,2,...),
(83.2)
колебания ослабляют друг друга и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплитудой, равной і Gi—G21. В частном случае, когда Gi = G2, колебания в этих точках будут отсутствовать.
Условия (83.1) и (83.2) сводятся к тому, что
г, — r2 = const. (83.3)
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
(83.3) есть уравнение гиперболы с фокусами в точках Oj и O2. Таким образом, геометрические места точек, в которых колебания усиливают или ослабляют друг друга, представляют собой семейство гипербол (рис. 201,
282
отвечающий случаю ai — 012 = 0. Сплошными линиями указаны места, в которых колебания усиливают друг друга, пунктирными — места, в которых колебания ослабляют друг друга).
Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Это явление называется дифракцией. Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, которым устанавливается способ построения \Jjv фронта волны в момент времени t+At по известному положению фронта в VrVr
момент времени t. Согласно принципу V--A
Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит V-Ov
центром вторичных волн; огибающая ГД
этих волн дает положение фронта вол- Vy \
ны в следующий момент (рис. 202, Г
среда предполагается неоднородной— 1
скорость волны в нижней части ри- Plic 202. сунка больше, чем в верхней).
Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 203). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового
фронта служит центром вторичных волн, которые в од* нородной и изотропной среде будут сферическими. ПО’ строив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рисунке границы этой области показаны пунктиром), огибая края преграды.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически
I
Рис. 203.
§ 84. Стоячие волны
283
стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направленнях:
I, = a cos {at — kx),
I2 = a cos {mt + kx).
Складывая вместе оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получаем:
I = I, +12 = 2й cos kx cos at.
Заменив волновое число k его значением 2яД, выражению для I можно придать следующий вид:
| = ^2а cos 2я-^ jcosoirt. (84.1)
Уравнение (84.1) и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания тон же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от х:
амплитуда = 12а cos 2я j- .
В точках, где
2я-^ = ± пл (n »=0, 1, 2, ...), (84.2)
амплитуда колебаний достигает максимального значения 2а. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Нз условия (84.2) получаются значения координат пучностей:
Xny411 = ± п j (п = 0, 1,2,.. .)• (84.3)
В точках, где
2я~ = ± (д + -|)я (n = 0, 1, 2,----------),
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, нахо-
284
дящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты
узлов имеют следующие значения:
Л-УЗЛ=± (n + i)| (n = 0, I, 2, ...). (84.4)
Из формул (84.3) и (84.4) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно К/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.
Обратимся снова к уравнению (84.1). Множитель ^2acos2n^-j при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на п, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются, в про-тивофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одной и той