Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
j =» uv. (82.9) ‘
Вектор плотности потока энергии. был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А, Умовым и называется вектором Умова.
Вектор (82.9), как и плотность
энергии и, различен в разных точках пространства, а в данной точке пространства изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение его с учетом
(82.5) равно
icp = uv = ~ Pd2CD2V. (82.10)
Зная j в некоторой точке пространства, можно найти поток энергии через помещенную в эту точку любым об-
278
разом ориентированную малую площадку AS (рис. 200). Для этого спроектируем AS на плоскость, перпендикулярную к вектору j. Величина проекции ASx будет, очевидно, равна
AS1 = AScosa, (82.11)
где а — угол, образованный нормалью п к AS и вектором j.
Вследствие малости AS можно считать, что через AS течет такой же поток, как и через ASx. Поток же через ASjl в соответствии с (82.7) равен
Ho j cos а есть не что иное, как величина составляющей вектора j по направлению нормали п к площадке
Итак, поток энергии через малую 'площадку AS равен произведению нормальной составляющей вектора плотности потока энергии на AS.
Зная j в любой точке произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии Ф через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки AS, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор j в пределах каждого AS можно было считать постоянным как но величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток АФ через каждый участок AS можно вычислить по формуле (82.12), беря для каждой AS свое значение которое зависит от величины вектора j в том месте, где расположена площадка AS, и от ориентации этой площадки по отношению к j.
Полный поток через поверхность S будет равен сумме элементарных потоков:
A® = /"AS±,
Заменяя ASx его значением (82.11), получаем: АФ = / AS cos а.
(82.12)
Ф = 2 АФ = 2 jn AS.
(82.13)
279
Полученное нами выражение является приближенным. Чтобы получить точное значение Ф, нужно устремить все AS к нулю. При этом сумма (82.13) перейдет в интеграл
который должен быть взят по всей поверхности 5. Формула (82.14) дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и потоком энергии через эту поверхность.
Вычислим поток энергии через волновую поверхность сферической волны. Нормальная составляющая вектора плотности потока энергии во всех точках волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение
(аг — амплитуда волны на расстоянии г от источника).
Вынося в (82.14) постоянное знаменне jH за знак интеграла, получим:
Если энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение:
Отсюда следует, что амплитуда а,- сферической волны обратно пропорциональна расстоянию г от источника волны [см. (78.9)].
В § 78 мы отмечали, что амплитуда плоской волны может быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Как показывает опыт, такое затухание происходит по экспоненциальному закону. Это означает, что амплитуда волны убывает с расстоянием х по закону а — аое~^х, так что уравнение плоской волны имеет вид:
(82.14)
Ocpcill = 2ярсо2ш’г2 = const.
I «= о0е~^ cos (at — kx).
(82.15)
280
Величина у называется коэффициентом з а ту-х а н и я волны (или коэффициентом поглощения ') волны). Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная равна расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается в с раз (ср. с коэффициентом затухания колебании р, § 73).
В соответствии с (82.10) интенсивность волны (82.15) убиьаст с расстоянием х по закону
/ср = У=роЄ-2**. (82‘16)
Уравнение сферической волны, распространяющейся в поглощающей среде, имеет вид:
l = cos(0 (t —?). (82.17)
§ 83. Интерференция и дифракция волн
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, т0 колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это вытекаю* щее нз опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают по-стоянной разностью фаз, волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.
При сложении когерентных волн возникает явление н її т е р ф е р е и ц ii и, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.
Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников Oj и O2, колеблющихся с постоянной разностью фаз (такие источники называются, как и порождаемые ими волны, когерентными). Определим результирующее колебание в какой-либо точке среды при