Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
HS?[(fL) 1. (81.3)
IA дх Ае+Д*+6+Д6 ' dx ix+lS
Величину для малых б можно с большой сте-
'0х/X+6
пенью точности представить в виде
274
д21
где под дф подразумевается значение второй производной I по х в сечении X.
Ввиду малости величин Дх, ? и Д| применим к выражению (81.3) преобразование (81.4):
?"5?{[(1г1+13-^+5+ла]-[(1г1+3-Е]}-
(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Д| <С Д*, так что слагаемым Д| в сумме (Дл: + Д|) можно пренебречь) .
Подставляя массу, ускорение и силу в уравнение вто* рого закона Ньютона, получим:
Ps AxTF= seIw Ах-Наконец, сокращая на SAx, приходим к уравнению
•§—И?-’ (81-5>
которое представляет собой волновое уравнение (80.4), написанное для частного случая, когда g не зависит от У иг.
Сопоставляя (81.5) с (80.4), находим, что
V=Yt ' (81-6)
Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, де« ленного на плотность среды.
Аналогичные вычисления для поперечных волн при* водят к следующему выражению для скорости:
V=Yt ' (81,7)
где G — модуль сдвига.
§ 82. Энергия упругой волны
Выделим в среде, в которой распространяется пло* ская продольная волна, элементарный объем AF, на* столько малый, чтобы деформации и скорости движения
18* 275
во всех точках этого объема можно было считать оді-
<Э| дЪ
паковыми и равными, соответственно, —- и .
Согласно формуле (46.15) выделенный нами объем дет обладать потенциальной энергией упругой деформации
где е = — относительное удлинение, a E — модуль
Юнга.
Заменим в соответствии с (81.6) модуль Юнга E через pi>2 (р — плотность среды, V — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема AV примет вид
Рассматриваемый объем будет также обладать кинетической энергией
А?*=KIH2av (82-2)
(рЛУ — масса объема, его скорость). Выражения
(82.1) и (82.2) в сумме дают полную энергию
де- ДЕ, + ДЕ, -1 p[(f )¦+ »’(§)’] №.
Разделив энергию AE на объем ДУ, в котором она содержится, получим плотность энергии
«~м(зг+«да <82-з)
Дифференцирование уравнения плоской волны (78.2) по і и Л' дает:
-§ = -<»« Sin CD (f-f),
= — a sin соit — — ^. дх и \ Vj
Подставив этн выражения в формулу (82.3), получим: и = ря2ю2 sin2 со ~ j = p«2«r sin2 (со t — kx). (82.4)
276
В случае поперечной ВОЛНЫ л Itf плотности энергии ПО' луїается такое же выражение.
Как следует из (82.4), плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке Плотность энергии изменяется CO временем по закону квадрата синуса. Поскольку среднее значение квадрата синуса равно половине, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно
fi — -j ря2к>2. (82.5)
Плотность энергии (82.4) н ее среднее значение
(82.5) пропорциональны плотности среды р, квадрату частоты со и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место ис только для плоской волны с постоянной амплитудой, ио и для других видов волн.
Итак, среда, в которой возникает волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергни, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Поток энергии— скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д.
Поток энергии в разных точках среды может обладать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.
Пусть* через площадку AS1, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время At энергия AE. Тогда плотность потока энергии / по определению равна
і~т§гш- <82-6>
ДЕ
Учитывая, что есть поток энергии ДФ через поверхность AS±, можно написать!
; = fg. (82.7)
Через площадку AS1 (рис. 199) за время At будет перенесена энергия AEy заключенная в объеме цилиндра с основанием AS1 и высотой v At (v — фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за
счет малости ASx и At) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то AE можно найти как произведение плот*
j ~Т ности энергии и на объем ци*
линдра, равный AS±vAt:
AE = и ASxt» At.
Подставив это выражение для AE в формулу (82.6), по* лучим;
j = uv. (82.8)
Рассматривая фазовую скорость v как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать:
