Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
0 0
Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы. Следовательно, система, в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положения равновесия на расстояние х обладает потенциальной энергией 1J
Ep = -^f (62.3)
(потенциальную энергию в положении равновесия полагаем равной нулю).
Выражение (62.3) совпадает с выражением (27.13) для потенциальной энергии деформированной пружины.
Обратимся снова к системе, изображенной на рис. 162. Сообщим шарику смещение х = а, после чего
предоставим систему самой себе. Под действием силы f — —kx шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью v = x. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 163), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия Eh = mx2/2 (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным —а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обрат-
') Мы вынуждены отказаться от обозначений кинетической и потенциальной энергии, которыми пользовались в механике. В учении о колебаниях буквой T принято обозначать период колебаний. Буквой U в молекулярной физике обозначают внутреннюю энергию тела. Поэтому мы будем в дальнейшем обозначать кинетическую энергию символом Eu, а потенциальную — символом Ev.
224
ном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х = а до х = —а неограниченно долго.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид
тх = — kx.
Преобразуем это уравнение следующим образом:
х -\------х = О.
т
(62.4)
Коэффициент при X положителен. Поэтому его можно представить в виде
<-4г, №2.5)
где соо — вещественная величина.
Применяя в (62.4) обозначение (62.5), получим:
х + cojbc = 0.
(62.6)
Таким образом, движение шарика под действием силы вида (62.2) описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Легко убедиться подстановкой, что общее решение уравнения (62.2) имеет вид
X = a cos (со0/ + а) '), (62.7)
где а и а— произвольные постоянные.
Итак, смещение х изме- -а-няется со временем по закону косинуса. Следователь- рнс. 164.
по, движение системы, находящейся под действием силы вида f = —kx, представляет собой гармоническое колебание.
График гармонического колебания, т. е. график функции (62.7), показан на рис. 164. По горизонтальной оси отложено время /, по вертикальной оси — смещение х. Поскольку косинус изменяется в пределах от —1 до +1, значения х лежат в пределах от —а до +а.
1) Или х — a sin(CO0^ + а'), где а' = а + я/2. 15 И. В. Савельев, т. I
225
Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда а — постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной первоначального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.
Величина (соо/ + а), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная а представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться н а. Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени. Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2л, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше я. Поэтому обычно рассматриваются только значения а, лежащие в пределах от —л до + я.
Поскольку косинус — периодическая функция с периодом 2я, различные состояния1) системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2п (рис. 163). Этот промежуток времени T называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия: [coo (< + Т) + а] = [ю(/ + а] + 2я, откуда
T = — , (62.8)
W0
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания v. Очевидно, что частота v связана с продолжительностью одного колебания T сле^ дующим соотношением:
V = Jr. (62.9)
За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 сек. Эту единицу называют герцем (гц). Частота в IO3 гц называется килогерцем (кгц), в IO6 гц— мегагерцем (Мгц).
J) Напомним, что состояние механической систему характеризуется значениями координат и скоростей тел, образующих систему.
226
Из (62.8) следует, что
Oi0 = Ц-. (62.10)
Таким образом, (Оо дает число колебаний за 2л секунд. Величину (O0 называют круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой V соотношением
W0 = 2jtv. (62.11)
Продифференцировав (62.7) по времени, получим выражение для скорости
V = X = — ащ sin (щї + a) = ato0 cos + a + . (62.12)
Как видно из (62.12), скорость также изменяется по
