Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле сил (см. § 26). В соответствии с (37.6) момент импульса материальной точки, бзятый относительно центра сил, должен оставаться постоянным по величине и направлению (момент центральной силы относительно центра равен нулю). Pa» диус-вектор г, проведенный из центра сил в точку т, и вектор L перпендикулярны друг к другу. Поэтому вектор г остается все время в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению L. Следовательно, движение материальной точки в центральном поле сил будет происходить по кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр сил.
В зависимости от знака центральных сил (т. е. от того, являются они силами притяжения или отталкива* ния), а также от начальных условий траектория представляет собой гиперболу, параболу или эллипс (в частности, окружность). Например, Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой помещается Солнце.
137
Закон сохранения момента импульса. Рассмотрим систему из N материальных точек. Подобно тому, как это делалось в § 23, разобьем силы, действующие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на і-ю материальную точку, обозначим символом M/, результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку,— символом M1-. Тогда уравнение (37.6) для і-й материальной точки будет иметь вид:
Li — М'і + Mi (і= I, 2, ..., N).
Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениями ин* декса і. Сложив эти уравнения, получим:
NNN
jr S L<=2 м<+S (37-9>
I=I / = 1 І = I
Величина
L= 2 Li= 2 [r,-, Pi] (37.10)
i=> I І~1
называется моментом импульса системы материальных точек.
Сумма моментов внутренних сил [первая из сумм в правой части формулы (37.9)], как было показано в конце § 36, равна нулю. Следовательно, обозначив сум* марный момент внешних сил символом М, можно написать, что
N
= >? Mi = M (37.11)
/=I
[в символы LhMb этой формуле вложен иной смысл, чем в такие же символы в формуле (37.6)].
Для замкнутой системы материальных точек M = 0, вследствие чего суммарный момент импульса L не зави»
сит от времени. Таким образом, мы пришли к закону
сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям,
138
при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.
Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (37.11), их составляющие по оси г, придем к соотношению:
N
-?- = 2 Mri = M2. (37.12)
І = 1
Может случиться, что результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (МФО), однако равна нулю составляющая Мг вектора M по некоторому направлению z. Тогда согласно (37.12) будет сохраняться составляющая L1 момента импульса системы по оси z.
§ 38. Основное уравнение динамики вращательного движения
Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось г (рис. 99). Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью CO.
Согласно формуле (11.5) тангенциальная составляющая скорости г-й точки может быть представлена в виде:
Vt, = К RJ,
где Rj — перпендикулярная к оси z со* ставляющая радиуса-вектора г,- [ее модуль Ri дает расстояние точки от оси г].
Подставив это значение vTi в формулу
(37.4), получим выражение для момента импульса, точки относительно оси z:
Lzi = m? [R;, [о, Rf] ] = IniR2Ito
[мы воспользовались соотношением (11.3); векторы R1 и со взаимно перпендикулярны].
Просуммировав это выражение по всем точкам и вынеся общий множитель о) за знак суммы, найдем для
Рис. 99.
139
момента импульса системы относительно оси г следующее выражение:
N
L „ = (38.1)
Физическая величина
N
Iz-XmIRh (38.2)
/=¦>1
равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси г, называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z (отдельно взятое слагаемое miRi представляет собой момент инерции і-й материальной точки относительно оси z).
С учетом (38.2) выражение (38.1) принимает вид:
Lz = Iz&. (38.3)
Подставив это выражение для L2 в соотношение (37.12), придем к уравнению:
~ (IzV) = M2, (38.4)
которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона:
-^-(mv) = f.
В § 35 мы уже отмечали, что абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции Iz относительно фиксированной оси z есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (38.4) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение:
I г Р = Мг, (38.5)
где р = <а— угловое ускорение тела, M2 — результирующий момент внешних сил, действующих иа тело.