Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 40

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 150 >> Следующая


Пример 3. Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле сил (см. § 26). В соответствии с (37.6) момент импульса материальной точки, бзятый относительно центра сил, должен оставаться постоянным по величине и направлению (момент центральной силы относительно центра равен нулю). Pa» диус-вектор г, проведенный из центра сил в точку т, и вектор L перпендикулярны друг к другу. Поэтому вектор г остается все время в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению L. Следовательно, движение материальной точки в центральном поле сил будет происходить по кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр сил.

В зависимости от знака центральных сил (т. е. от того, являются они силами притяжения или отталкива* ния), а также от начальных условий траектория представляет собой гиперболу, параболу или эллипс (в частности, окружность). Например, Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой помещается Солнце.

137
Закон сохранения момента импульса. Рассмотрим систему из N материальных точек. Подобно тому, как это делалось в § 23, разобьем силы, действующие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на і-ю материальную точку, обозначим символом M/, результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку,— символом M1-. Тогда уравнение (37.6) для і-й материальной точки будет иметь вид:

Li — М'і + Mi (і= I, 2, ..., N).

Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениями ин* декса і. Сложив эти уравнения, получим:

NNN

jr S L<=2 м<+S (37-9>

I=I / = 1 І = I

Величина

L= 2 Li= 2 [r,-, Pi] (37.10)

i=> I І~1

называется моментом импульса системы материальных точек.

Сумма моментов внутренних сил [первая из сумм в правой части формулы (37.9)], как было показано в конце § 36, равна нулю. Следовательно, обозначив сум* марный момент внешних сил символом М, можно написать, что

N

= >? Mi = M (37.11)

/=I

[в символы LhMb этой формуле вложен иной смысл, чем в такие же символы в формуле (37.6)].

Для замкнутой системы материальных точек M = 0, вследствие чего суммарный момент импульса L не зави»

сит от времени. Таким образом, мы пришли к закону

сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям,

138
при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (37.11), их составляющие по оси г, придем к соотношению:

N

-?- = 2 Mri = M2. (37.12)

І = 1

Может случиться, что результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (МФО), однако равна нулю составляющая Мг вектора M по некоторому направлению z. Тогда согласно (37.12) будет сохраняться составляющая L1 момента импульса системы по оси z.

§ 38. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось г (рис. 99). Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью CO.

Согласно формуле (11.5) тангенциальная составляющая скорости г-й точки может быть представлена в виде:

Vt, = К RJ,

где Rj — перпендикулярная к оси z со* ставляющая радиуса-вектора г,- [ее модуль Ri дает расстояние точки от оси г].

Подставив это значение vTi в формулу

(37.4), получим выражение для момента импульса, точки относительно оси z:

Lzi = m? [R;, [о, Rf] ] = IniR2Ito

[мы воспользовались соотношением (11.3); векторы R1 и со взаимно перпендикулярны].

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынеся общий множитель о) за знак суммы, найдем для

Рис. 99.

139
момента импульса системы относительно оси г следующее выражение:

N

L „ = (38.1)

Физическая величина

N

Iz-XmIRh (38.2)

/=¦>1

равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси г, называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z (отдельно взятое слагаемое miRi представляет собой момент инерции і-й материальной точки относительно оси z).

С учетом (38.2) выражение (38.1) принимает вид:

Lz = Iz&. (38.3)

Подставив это выражение для L2 в соотношение (37.12), придем к уравнению:

~ (IzV) = M2, (38.4)

которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона:

-^-(mv) = f.

В § 35 мы уже отмечали, что абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции Iz относительно фиксированной оси z есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (38.4) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение:

I г Р = Мг, (38.5)

где р = <а— угловое ускорение тела, M2 — результирующий момент внешних сил, действующих иа тело.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed