Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для момента относительно оси также справедливо соотношение (36.5), т. е. момент результирующей равен сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси:
Мг = M2l + M22 + ... (36.11)
>) Нельзя обозначить модуль M1 символом Mz, так как последний символ обозначает проекцию вектора M на ось г, которая может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Модуль же вектора всегда положителен. Справедливо соотношение:
I M21 = I M11.
133
Суммарный момент внутренних сил. Силы, с которыми взаимодействуют друг с другом две любые элементарные массы, лежат на одной и той же прямой (рис. 95). Их моменты _относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. По* этому моменты внутренних СИЛ HO* парно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы матёриаль-ных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю, Sto утвер* ждение справедливо как для суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для Суммарного момента этих сил, взятого относительно любой осн.
§ 37. Момент импульса материальной точки.
Закон сохранения момента импульса
Аналогично моменту силы определяется момент им* пульса (момент количества движения) материальной точки. Момент импульса относительно точки О равен
L = [гр] = т [rv], (37.1)
где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, в которой находится мате-
риальная точка (рис. 96; вектор f понадобится нам в дальнейшем), р = mv—импульс точки [ср. с формулой (36.1)].
Введя плечо / = г sin а, модуль вектора момента импульса можно
записать в виде: рис_ 95.
L = rpsina = 1р. (37.2)
Моментом импульса относительно оси z называется составляющая Lt по этой оси момента импульса L
І,
йті
L
nflfi (> Лт„
Рис. 95.
134
относительно точки О, лежащей на оси (рис. 97):
L2 = [гр]2. (37.3)
Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле
(36.9), найдем, что
L2 = [R, Px] = т [R, Vt], (37.4)
I г
где R — составляющая раднуса-вектора г, перпендикулярная к оси z, a pt — составляющая вектора р, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось z и точку т.
Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продифференцируем (37.1) по времени t, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения:
!=Iin-Kf. р]+Ц]-
(37.5)
Первое слагаемое равно нулю, так как оно представляет собой векторное произведение векторов
одинакового направления. В самом деле, вектор ра*
вен вектору скорости V и, следовательно, совпадает по
направлению с вектором р = mv. Вектор ~ по второму
закону Ньютона равен действующей на тело силе f [см. (22.3)]. Следовательно, выражение (37.5) можно написать так:
Рис. 97.
dr
dL
dt
= [rf] == М,
(37.6)
где M — момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки О, относительно которой берется момент импульса L.
Из соотношения (37.6) следует, что если результи-» рующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки О равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки О будет оставаться постоянным.
135
Взяв составляющие ПО ОСИ Z от векторов, входящих в формулу (37,6), получим выражение1):
IT = M,. (37.7)
Формула (37.6) похожа на формулу (22.3). Из сравнения этих формул вытекает, что подобно тому, как производная по времени от импульса равна силе, действующей на материальную точку, производная по времени от момента импульса равна моменту силы. Рассмотрим несколько примеров.
Пр и м ер 1. Пусть материальная точка т движется вдоль пунктирной прямой на рис. 96. Поскольку движение прямолинейно, импульс материальной точки изменяется только по модулю, причем
dp _ Г dt ь
где f — модуль силы [в рассматриваемом случае f имеет такое же направление, как р (см. рис. 96), так что
-?>»]¦
Плечо I остается неизменным. Следовательно,
) Согласно формуле (2.11)
dt Jnpz dt
I dL \ dL .
гДе I ~~гг I —проекция на ось z вектора -гг, a Lz — проек-
\ dt /прг
ция на ось г вектора L. Умножим обе части равенства на орт ef оси z и, учтя, что ?, от I не зависит, внесем его в правой части под знак производной. В результате получим:
Ho произведение е, на проекцию вектора на ось г дает составляющую этого вектора по осн г (см. сноску на стр. 132). Следовав тельно,
I dt Jz dt z'
( dL \ dL
где ^ "^jT J —составляющая по оси z вектора
dt '
136
что согласуется с формулой (37.6) (в данном случае L изменяется только по модулю, причем увеличивается,
I </L і AL ч поэтому IirI = ^).
Пример 2. Материальна^ точка массы т движется по окружности радиуса R (рис. 98). Момент им* пульса материальной точки относительно центра окружности О равен по модулю:
L = mvR. (37.8)
Вектор L перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения точки и вектор L образуют правовинтовую систему.
Поскольку плечо, равное R1 остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности момент импульса остается постоянным и по величине и по направлению. Легко сообразить, что в этом случае момент силы, действующей на материальную точку, равен нулю.
