Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
f,
Рис. 90. Рис. 91.
силы, называется плечом пары. Покажем, что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Сделаем это сначала для точки, лежащей в плоскости, в которой действуют силы (см. рис. 90). Обозначим одинаковый модуль сил fi и І2 буквой f. Момент силы f| равен fl\ и направлен на нас, момент силы f2 равен f/? и направлен за чертеж. Результирующий момент направлен за чертеж и равен
M =Jl2-U1 = I(I2-Il)^fL
Полученное выражение не зависит от положения точки
О на плоскости, на которой лежит пара сил.
Теперь выберем точку О совершенно произвольным образом (рис. 91). Проведем из этой точки радиусы-
130
векторы Tl И I2 точек приложения СИЛ fi И f2. Из точки приложения СИЛЫ fi В точку приложения СИЛЫ f2 проведем вектор г)2. Очевидно, что
Го = г, + г
12*
Суммарный момент сил fi и
(36.6) h ра-
вен
Рис. 92.
м = [r,f,l + [r2f2].
Заменяя г2 согласно (36.6) и использовав дистрибутивность векторного произведения, можно написать:
M = Er1T1] + [(г, + г 12) f2] =
= [Мі] + [r,f2] + [ri2f2)-
Поскольку f, = —f2, первые два слагаемых взаимно уничтожаются и окончательно получается:
M = [r12f2].
Таким образом, момент пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы (рис. 92), и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.
Момент силы относительно оси. Если тело может ьращаться относительно точки О произвольным образом, то под действием силы f тело повернется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сил§ и точка О, т. е. вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы относительно данной точки. Величина момента характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.
Если тело может вращаться только вокруг некоторой фиксированной оси, способность силы вращать тело вокруг этой оси характеризуется величиной, которая называется моментом силы относительно оси.
Чтобы выяснить, что такое момент силы f относительно оси, найдем момент f относительно точки О и отложим вектор M этого момента из точки О (рис. 93;
9* 131
предполагается, что векторы f, г и M не лежат в пло* скости рисунка). Проведем через точку О ось, которую мы назовем осью z, и разложим вектор M на две составляющие: Mr— параллельную оси1) и Mx-перпен* дикулярную к оси.
Параллельную оси г составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) называют м о-ментом силы относительно оси. Обозначив момент силы относительно оси символом Mr, можно написать:
Mz = IrfL- (36.7)
При заданном M величина и направление вектора Mr зависят от выбора оси z. Если ось г совпадает Jf с направлением вектора М, то Mr я будет равен М, если ось z перпендикулярна к вектору М, то Mr = 0.
Выражение (36.7) для Mr можно сделать более наглядным. Для это-рис 94 го представим радиус-вектор г в
виде суммы двух составляющих: гг — параллельной оси и R — перпендикулярной к оси (рис. 94). Тогда момент силы относительно оси z можно записать в виде
M* = [rfL = Kr, + R), t]z = [г„ i]z + [RfL
Ho вектор [гг, f] перпендикулярен к оси z\ следовательно, его составляющая по этой оси равна нулю. Поэтому мы приходим к формуле:
M, = [Rf]2. (36.8)
Теперь представим вектор силы f в виде суммы трех составляющих: f#—параллельной оси z, fK — колли-неарной вектору R и, наконец, fT—перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось z и вектор R. На рис. 94 эта составляющая изображена кружком с кре-
') Составляющую M2 нужно отличать от проекции вектора M на ось г, обозначаемой символом AIj-M2- вектор, Al1 — скалярная алгебраическая величина; между ними имеется простая связь: M1 * C1M11 где ег — единичный вектор (орт) оси г [этот орт обозначают также символом к; см. формулу (2.8) J.
132
стиком. Если представить себе окружность радиуса R с центром на оси г, то составляющая ft будет направлена по касательной к этой окружности. Заменим в
(36.8) вектор f суммой перечисленных выше составляющих:
= [Rf]* = [R> (f|| + + їх)]г = [R. ї||]г + [R. + [R» *т]г*
Рассмотрим каждое из трех слагаемых в отдельности. Вектор IR1 перпендикулярен к оси г, поэтому его составляющая по оси равна нулю. Вектор [R, ffi] сам по себе равен нулю, так как образующие его сомножители коллинеарны. Следовательно, первые два слагаемые равны нулю. Вектор [R, fT] параллелен оси г (оба образующие его сомножителя перпендикулярны к оси -г), так что его составляющая по оси равна ему
самому: [R, Ul = [R, M Таким образом, мы приходим
к формуле:
Mz = IRf д. (36.9)
Векторы R и fT взаимно перпендикулярны. Поэтому модуль вектора M2 равен
IM2-I = Rfx'). (36.10)
Величина R называется плечом силы fT относительно оси z.
Из выражения (36.9) легко заключить, что момент Mz характеризует способность силы f повернуть тело, к которому она приложена, вокруг оси г. Действительно, составляющие f,, и fH не могут вызвать вращения вокруг оси г. Следовательно, рассматриваемый нами поворот может быть вызван только составляющей fT, причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо R.
