Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (35.5) дает возможность установить движение центра инерции твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. В случае поступательного движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, HO и любой другой точки тела.
§ 36. Вращение твердого тела. Момент силы
Чтобы выяснить, чем определяется характер вращения тела вокруг неподвижной оси, рассмотрим следующий опыт. Возьмем тело в виде легкой крестовины, на концах которой закреплены равные массивные грузы m (рис. 87).
В центре крестовины укрепим ступенчатый шкив. Крестовину вместе со шкивом наденем на ось, позаботившись
о том, чтобы трение при вращении вокруг этой оси было пренебрежимо мало.
Прикрепим к одной из ступеней шкива конец нити, обмотаем ее вокруг шкива и, перебросив свободный конец нити через блок, подвесим к нему груз Р. Если отпустить груз Р, крестовина придет во вращение со все
127
возрастающей угловой скоростью со, причем вращение будет равномерно-ускоренным.
Варьируя величину груза Р, радиус шкива I, массу грузов т и их расстояние R от оси вращения, исследуем, как этн факторы влияют на величину углового ускорения р. Результаты подобного исследования сводятся к тому, что угловое ускорение P
1) прямо пропорционально натяжению нити / и ра-риусу шкива /;
2) обратно пропорционально массе грузов т и квадрату их расстояния R от оси вращения.
Следовательно, ускорение вращательного движения зависит не только от величины действующей на тело силы f, но и от расстояния I от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Произведение Jl дает величину так называемого момента силы относительно оси вращения.
Из рассмотренного опыта следует также, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая оба эти обстоятельства, носит название момента инерции тела относительно оси вращения.
Итак, для изучения вращательного движения необходимо ввести в рассмотрение две новые физические величины — момент силы и момент J инерции.
I Начнем с выяснения понятия мо-
M мента силы. Момент инерции будет
рассмотрен в следующих параграфах.
Момент силы относительно точки. Моментом силы f относительно некоторой точки О называется векторная величина М, определяемая выражением
M = [rf], (36.1)
где г—радиус-вектор, проведенный из Рис. 88. точки О в точку приложения силы.
Поясняющий это определение рис. 88 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент, и вектор f лежат в плоскости рисунка. Тогда и вектор г располагается в этой плоско-
128
сти, вектор же M перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас. Вектор M изображен кружком й вписанным в него крестиком1).
Из определения (36.1) следует, что M является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор M образуют правовинтовую систему.
Модуль вектора M равен
M = rf sin a = If, (36.2)
где а — угол между направлениями векторов г и f, а / = rsina — длина перпендикуляра, опущенного из точ* ки О на прямую, вдоль которой действует сила (см, рис. 88). Эта длина называется плечом силы относ и тел ь- ^
H О ТО Ч К И О. M г \
Формулам (36.1) и (36.2) для 0 ¦¦¦¦ '^ JV-----^fr
момента силы и его модуля мож- 0
но придать иной вид. Для этого разложим вектор силы f на две составляющие: коллинеарную с г составляющую f,- и перпендику- Рис. 89.
лярную к г составляющую ft
(рис. 89). Если представить себе окружность радиуса г с центром в точке О, то составляющая fT будет направлена по касательной к окружности. Заменим в формуле (36.1) вектор f суммой fr + ft и воспользуемся свойством дистрибутивности векторного произведения:
M = [rf] = [r, (f, + fT)] = [r, f,] + [r.fj.
Первое* слагаемое в полученном нами выражении равно нулю, так как векторы г и fr коллинеарны. Следовательно, момент силы относительно точки можно представить в виде:
________________ M = [г, fJ. (36.3)
') В дальнейшем векторы, перпендикулярные к плоскости рисунка, мы будем изображать кружком с крестиком, если вектор направлен от нас, и кружком с точкой в его центре, если вектор направлен на нас. Для наглядности можно представлять себе вектор в виде стрелы с конусообразным наконечником и крестообразным оперением на хвосте. Тогда, если вектор направлен на нас (стрела летит к нам), мы увидим кружок с точкой, если же вектор направлен от нас (стрела летит от нас), мы увидим кружок с крестиком.
9 И. В. Савельев, т. I
129
Поскольку векторы г и fT взаимно перпендикулярны, модуль вектора M равен
M ¦= rfx. (36.4)
Из дистрибутивности векторного произведения вытекает, что момент суммы сил, имеющих общую точку при* ложения, равен сумме моментов слагаемых сил:
M = [rf] = [г (fі + f2+ • • .)1 = [rtil + [rW'!'««•= Mj + М2 + .. •
(36.5)
Момент пары сил. Парой сил называются две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (рис. 90). Рас* стояние / между прямыми, вдоль которых действуют
