Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений — поступи тельного со скоростью V0 и вращательного с угловой скоростью w (вектор <0 па рис. 82 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж). Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями V0 и v7,
но соответствующих одной и той же угловой скорости to. Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 82), можно представить как поступательное движение со скоростью Vo и одновременное вращение с угловой скоростью <о вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью
Рис. 84.
2v„
и вращение с той же углоьой скоростью О) вокруг оси О", либо, наконец, как одно только вращение опять-таки с той же угловой скоростью м вокруг оси О'.
Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью о в системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно CO скоростью Vo.
Линейная скорость V7 точки с радиусом-вектором г, обусловленная вращением твердого тела, равна (рис. 84)
V7 = [юг].
Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела может быть представлена в виде
V = V0+ [©г]. (34.1)
Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, либо вне его), которые, участвуя в обоих движениях— поступательном и вращательном, будут неподвижными. В самом деле, при заданных V0 и « всегда можно найти такое г, что (34.1) будет равно нулю. Пусть
124
в данный момент движущаяся поступательно система отсчета имеет скорость V0 (рис. 85). Тело в этой системе вращается с угловой скоростью со в направлении, ука-занном стрелкой. Скорость v', обусловленная вращением, имеет для различных точек значения, показанные на рисунке. Для точки О' скорости V0 и v' равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нулю.
Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор г, который при векторном перемножении С CD дает вектор,
равный —V0, то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении с со дают такой же результат; векторное произведение w на любой из изображенных на рис. 86 векторов г имеет одинаковую величину и направление. Точки, определяемые этими радиусами^ векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными. Эти точки, как видно из рисунка, лежат на одной прямой и образуют так называемую мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис. 82) мгновенная ось Or совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т. е. относительно неподвижной системы отсчета), так и но поверхности цилиндра.
г
Рис. 85.
Рис. 86.
125
Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.
В общем случае движение (не плоское) можно представить как вращение вокруг мгновенной оси и проис* ходящее одновременно поступательное перемещение вдоль этой оси.
§ 35. Движение центра инерции твердого тела
Разбив тело на элементарные массы Ami, можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными' массами рассматриваемого тела, так и внешних сил. Например, если тело находится в поле сил земного тяготения, на каждую элементарную массу тела Arrii будет действовать внешняя сила, равная Atriig.
Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона
AmiVfi = f і +Fi, (35.1)
где fі — результирующая всех внутренних сил, a Fj-результирующая всех внешних сил, приложенных к данной элементарной массе. Складывая уравнения (35.1) для всех элементарных масс, получим:
IlAmiVil = Iifi+ IiFl. (35.2)
Однако сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Поэтому уравнение (35.2) упро* щается следующим образом:
IAmiVfi = ^iFh (35.3)
где справа получается результирующая всех внешних сил, действующих на тело. Сумму, стоящую в левой части уравнения (35.3), можно заменить произведением массы тела т на ускорение его центра инерции wc.; Действи-
126
тельно, радиус-вектор центра инерции по определению [см. (23.1)] равен
Уі ^tniTi
Tr = --!¦--- .
с т
Продифференцировав это соотношение дважды по вре* мени и учитывая, что rc = wc, a Ti = wt, можно написать:
mwc = 2 Amt-Wt-. (35.4)
Следовательно,
mwc = 2 Fi> (35.5)
откуда вытекает, что центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с мае-сой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.
