Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
A sin a d(р, а направлен вектор dA перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы dq> и А, причем так, что поворот от d<p к А вызвал бы перемещение правого винта в направлении dA. Заметим, что такой же резуль-
116
тат получается для вектора, начало которого располагается не в начале координат, а в произвольной топке. Эго можно понять, если учесть, что независимо от того, как располагается вектор А по отношению к координатным осям, параллельная оси г' плоскость, в которой лежит вектор А, повернется на такой же угол dy, на какой поворачивается система К'-
В общем случае, когда приращение d'А в системе К' отличио от нуля, приращение в системе К определяется формулой:
dA = d'A + \dif, А]. (33.7)
Это и есть то соотношение, которое нам понадобится при рассмотрении общего случая движения тела. К этому рассмотрению мы теперь и приступим.
Общий случай движения тела в неинерциальной системе отсчета. Возьмем две системы отсчета К и К' (рис. 78), из которых К инерциальца, а К' движется относительно К поступательно и, кроме того, равномерно вращается вокруг оси г', остающейся все время параллельной оси г (вектор и постоянен по величине и по направлению) . Положение материальной точки т по отношению к системе К определяется радиусом -вектором г, по отношению к системе Ki — радиусом-вектором г'. Между этими векторами и радиусом-вектором г0, проведенным из начала системы координат К в начало системы К', имеется очевидное соотношение:
г0 + г'.
(33.8)
Скорость точки т по отношению к системе К по определению равна
dt
HF'
V =
(33.9)
117
скорость же по отношению к системе К' есть
v' = 4f’ (33.10)
где через d'r' обозначено приращение радиуса-вектора г' по отношению к системе /<'.
Согласно (33.8) приращение радиуса-вектора г, на* блюдаемое в системе /<, равно
dr = dr0 + dr', (33.11)
где dr' — приращеиие радиуса-вектора г' в системе К, которое, как было установлено выше [см. (33.7)], ела-гается из приращения d'r', наблюдаемого в системе К', и вектора [dtp, г'] = [ыг']сй:
dr' = d'r' + [tor'] dt. (33.12)
Подставив последнее соотношение в формулу (33.11), придем к следующему выражению:
dr = dr0 + d'r' + [tor'] dt.
Разделив это выражение на dt и приняв во внимание
(33.9) и (33.10), получим формулу
V = V0 + v' + [tor'], (33.13)
в которой V0 = -^jr-----скорость поступательного движе-
ния системы /<' по отношению к системе К- Если система К' движется только поступательно, to = 0 и формула
(33.13) превращается в уже знакомую нам формулу
(17.3). В случае равенства нулю скоростей V0 и V из
(33.13) получается формула (11.4).
Теперь найдем наблюдаемое в системе К приращение вектора V, определяемого выражением (33.13), Приняв во внимание, что to = const, получим:
dv = dv0 + dv' + [to, dr'].
Заменим в этой формуле dr' его значением (33.12), а dv' — аналогичным (33.12) выражением:
dv' — d'v' + [dtp, v'] = d'v' + [tov'] dt
(напомним, что dv' есть приращение вектора v', наблюдаемое в системе К, a d'v' —приращение v', наблюдае-
118
мое в системе к'). Произведя замену, придем к выражению:
dv = dv0 + d'v' + [cov7] dt + [to, (d'r' + [cor7] dt)].
Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, последнее слагаемое полученного выражения можно представить в виде [со, d'r'] + [w, ([cor']d/)]. Следовательно,
dv = dv0 + d'v' + [cov7] dt + [со, d'r'] + [со, [cor7] ] dt
(в последнем слагаемом мы вынесли скалярный множитель dt за знак векторного произведения).
Разделим найденное выражение на dt:
^-“тг+тг+м+Ь jS1]+!*0- мі-
dy
Поскольку равно v7, первые два векторных произ-ведения совпадают и их можно объединить в одно слагаемое 2 [cov']. Производная ~ по определению есть ус*
d'V
корение w точки т в системе К, аналогично есть
ускорение W7 точки т в системе К'. Таким образом,
w = W0 + W7 + 2 [cov7] + [со, [сог7] ], (33.14)
где W0 — ускорение начала координат системы К' («поступательное» ускорение системы К').
В § 31 было указано, что, умножив вектор a=w — w' на m и изменив знак на обратный, получим силу инерции. Согласно (33.14)
a = w — W7 = w0+ 2 [cov7] + [со, [со, г7] ]. Следовательно,
f(-„ = — mw0 + 2m [v'co] + m [со, [r'co] ] (33.15)
(в последних двух слагаемых изменение знака осуществлено перестановкой сомножителей).
Формула (33.15) содержит все виды сил инерции. Так, если система К' движется относительно системы К только поступательно, без вращения, сила инерции равна fin = —тW0 [см. формулу (31.4)]. При наличии вращения появляются дополнительно кориолисова сила
119
fK = 2m[v'to] [см. формулу (33.2)] и центробежная сила инерции їЦб = т [и, [r'taj], которую можно представить в виде їцг, = /ncrR [см. формулу (32.2)].
Напомним, что кориолисова сила возникает только в случае, когда тело изменяет свое положение по отно шению к вращающейся системе отсчета (при v' = О выражение для кориолисовой силы обращается в нуль) Отметим также, что сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.