Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
За время dt прямая, вдоль которой движется тело, повернется на угол dq = to dt, а тело сместится вдоль этой прямой на отрезок dR — v'dt и окажется в положении 2. В результате обе составляющие скорости v, получив перпендикулярные к ним приращения, dvxi = = v'dtр и dv[{ = ыR dtp, повернутся на угол d<р. Кроме того, модуль составляющей V1 возрастет на dvX2 = ^dR = = Mv'dt. Это происходит потому, что в положении 2 составляющая v, перпендикулярная к радиусу, вдоль которого движется тело, становится равной ы(/? + dR).
3 И. В. Савельев, т. I
11?
Таким образом, приращение dv, которое получает за время dt скорость V, можно представить как векторную сумму трех приращений (см. рис. 75): dvX], dvX2 и dva, из которых первые два перпендикулярны к вектору v', а третье направлено вдоль той же прямой, что и лР (необходимо иметь в виду малость dq>).
Разделив соответствующие составляющие dv на dt, мы получим составляющие ускорения w по отношению к неподвижной системе, Составляющая W1 оказывается равной по модулю:
dv, і
w„ = ¦
dt
¦ to R
dt
со 2R.
Эта составляющая не. зависит от v'; она существует и при V7 = 0, Произведение этой составляющей на —т дает уже известную нам центробеж*
LHyra силу инерции.
Составляющая dvx, равная сумме f* dvxl и dvX2, после деления на dt дает
составляющую Wx ускорения W1 модуль которой равен
dv
шх = -
Xl
dv
±2
dt
dt
•= V
-+(О
dR
dt 1 w dt = a'to + (ov' = 2(ои'.
Рис. 76,
Вектор Wx (в дальнейшем мы его будем обозначать wR) перпендикулярен к v' и ю и может быть представлен в виде
Wk = 2 [©у'] (33.1)
(вектор © на рис. 75 перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен на нас). Ускорение (33.1) называется кориолисовым ускорением. Умножив его на т и изменив знак на обратный, получим кориолисову силу инерции:
fK = 2т [v'co].
(33.2)
Случай 2. Относительно вращающейся системы отсчета тело движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси (рис. 76). По отношению
114
к вращающейся системе тело обладает центростремительным ускорением, которое равно
w' = -^-n, (33.3)
где п — единичный вектор, перпендикулярный к v' и имеющий направление к центру вращения.
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета будет слагаться из двух перпендикулярных к радиусу R составляющих: v' и соR. В зависимости от направления скорости Vf и направления вращения системы эти составляющие будут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Модуль скорости v будет равен
v — \v'± со/? I, (33.4)
где «+» соответствует одинаковым, а «—» противоположным направлениям скоростей v' и сoR.
По отношению к неподвижной системе тело также будет двигаться равномерно по окружности, так что
ускорение w можно записать следующим образом:
И2 (и' ± Cl)/?)2 Vf2 , 2D Г
w = -jj- п = --^—— n = -g- n + а*Rn ± 2tr con.
Первое слагаемое представляет собой ускорение w' относительно вращающейся системы [см. (33.3)]. Следовательно,
a = w — w' = (H2Rn ± 2и'о>п.
В соответствии с этим выражением сила инерции оказывается состоящей из двух компонент:
f?n = — та = — та2 Rn + 2mv'an. (33.5)
Первая из этих сил есть центробежная сила инерции, вторая — кориолисова сила f
Сила (к перпендикулярна к векторам v' и w и имеет направление: а) от центра, если скорости v' и со/? совпадают по направлению (верхний знак в (33.5)), и б) к центру, если скорости v' и со/? направлены в противоположные стороны (нижний знак). Очевидно, что оба эти случая можно объединить в следующем выражении: fK = 2m[v'co]. (33.6)
Полученное выражение совпадает с (33.2).
Рассмотрев два частных случая движения тела во вращающейся системе отсчета, обратимся теперь к
8*
115
случаю произвольного движения тела, причем для боль-шей общности будем предполагать, что неинерциальная система координат /<' не только вращается по отношению к неподвижной (инерциальной) системе К, но, кроме того, движется поступательно. Однако прежде получим одно важное соотношение, которое нам понадобится при рассмотрении общего случая.
Соотношение между приращениями вектора в неподвижной и во вращающейся системах координат. Возьмем две системы координат, одна из которых (обозначим ее К.') вращается относительно другой (/С) с угловой скоростью Cd. Выберем эти системы так, чтобы их оси г и z' совпадали с осью вращения, т. е. с вектором CO (рис. 77).
Рассмотрим некоторый вектор А, начало которого поместим в точку О'— начало системы /('. Пусть вектор А как-то изменяется CO временем. Обозначим приращение вектора за время dt, наблюдаемое в системе координат К, через dA, а приращение, наблюдаемое за то же время в системе К', через d'А. Легко сообразить, что приращения dA и d'А будут различны. Это обнаруживается особенно наглядно, если предположить, что вектор А постоянен по отношению к системе К' и, следовательно, приращение его в этой системе d'А равно нулю (этот случай изображен на рис. 77). Однако по отношению к системе К вектор А будет поворачиваться со скоростью и. Как видно из рисунка, за время dt, за которое система К' повернется на угол d<p = (adt, вектор А получает приращение dA, которое может быть представлено в виде векторного произведения dq> на A: dА = [d«f, А]. Действительно, модуль dA равен
