Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
102
Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 68, б. Если полная энергия системы имеет значение, соответствую» щее проведенной на гра- п фике горизонтальной черте, то система может совершать движение либо в пределах от Jti до X2 либо в пределах от X3 до бесконечности. В область х < Xi и X2 < х < X3 систем ма проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной).
Таким образом, область X2 < х < X3 представляет
собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.
Рис. 68, б поясняет, как с помощью графика U опре» делить кинетическую энергию, которой обладает система при данном значении х.
Рис. 69.
§ 30. Центральный удар шарсв
При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформа* ции и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повьь шением их температуры.
Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим на* зывается такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит
103
полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой Деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.
Абсолютно нсуиругшї улар характеризуется тем, что Потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо Покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения Механической энергии не соблюдается — имеет место
закон сохранения сум-п. тг марпой энергии различ-
х ных видов — механиче* ской н внутренней. тг Мьі ограничимся рас-
V, гг смотрением центрального
?) H \удара двух шаров. Удар
называется центральным, Рис. 70. если шары до удара дви-
жутся вдоль прямой,про-ходящей через их центры. При центральном ударе соударение может произойти, если: 1) шары движутся Навстречу друг другу (рис. 70, а) и 2) один из шаров догоняет другой (рис. 70,6).
Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.
Рассмотрим вначале абсолютно пеупругий удар. Пусть массы шаров равны т. и т2, а скорости до удара Vio и V2O- В силу закона сохранения суммарный импульс, шаров после удара должен быть таким же, как и до удара:
m,v,0 + ^2V20 AwiV -f tu x — (т, + т2) v (30.1)
(v — одинаковая для снюнх шаров скорость послі удара).
104
а)
-в-*-*©
Из (ЗОЛ) следует, что
у __ '"|Ущ 4 ^2^20 (30 ^
mi + Ot2 ‘ V --I
Поскольку векторы Vi0 и V20 направлены вдоль одной и той же прямой, вектор V также имеет направление, совпадающее с этой прямой. В случае б) (см. рис. 70) он направлен в ту же сторону, что и векторы V10 и V20-B случае а) вектор v направлен в сторону того из векторов VjO, ДЛЯ которого Произведение tHiVi0 больше.
Модуль вектора v может быть вычислен по следующей формуле:
0 = | I (30.3)
І WJ, + IU2 і
где V10 и V20—модули векторов Vta и Vj,; знак «—» соответствует случаю а), знак « + » — случаю б).
Теперь рассмотрим абсолютно упругим удар. При таком ударе выполняются два закона сохранения: за-кон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.
Обозначим массы шаров т\ и т2, скорости шаров до удара Vio и v2o и, наконец, скорости шаров после удара Vi и V2. Напишем уравнения сохранения импульса и энергии:
m,vl0 + Iti2V20 = ItiiVl + Iti2V2, (30.4)
, mAo тУі , т‘Л |ч /ОА
(30.5)
Преобразуем (30.4) следующим образом:
тх (v,o - V1) = т2 (v2 - V20). (30.6)
Учитывая, что (А2 — В2) = (А—В) (А + В), приведем
(30.5) к виду
Vil (V10 - V,) (V10 + V1) = In2 (v2 - V20) (v2 + V20). (30.7)
Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом. Следовательно, все векторы в (30.6) и
•), Cm. (24.7).
105
(30.7) коллинеарны. Это дает возможность заключить из сравнения (30.6) и (30.7), что
Vio + V1 = V2 + V20. (30.8)
Умножая (30.8) на т2 и вычитая результат из (30.6), а затем умножая (30.8) на mi и складывая результат с
(30.6), получим векторы скоростей шаров после удара:
