Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
янной.
Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют также неконсервативные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы
98
не сохраняется. Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно написать:
E2 -E1=* Ан. к,
где A11' к — работа неконсервативных сил. Силы трения совершают, как правило, отрицательную работу (см. сноску на стр. 88). Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии со временем. Действие сил трения приводит к превращению механической энергии в другие, немеханические, виды энергии. В этом случае выполняется более общий закон сохранения — в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и неме* ханические).
§ 28. Связь между потенциальной энергией и силой
Каждой точке потенциального цоля соответствует, о одной стороны, некоторое значение вектора силы f, действующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела U. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.
Для установления этой связи вычислим элементарную работу А А, совершаемую силами
поля при малом перемещении тела As, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в простран* стве, которое мы обозначим буквой s (рис, 66). Эта ра-. бота равна
АЛ = As, (28.1)
где fs — проекция силы f на направление s.
Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии —AU на отрезке As оси s:
ДЛ = - A U. (28.2)
7*
99
Сопоставляя (28.J) и (28.2), получаем: fsAs = — AU,
откуда
(28.3)
Выражение (28.3) дает среднее значение на отрезке As. Чтобы получить значение fs в данной точке, нужно произвести предельный переход:
fs = — Iiin (28.4)
As-»0 as
Поскольку U может изменяться не только при перемещении вдоль ОСИ S, HO также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в формуле (28.4) представляет собой так называемую частную производную от U по s:
(28.5)
Соотношение (28.5) справедливо для любого направления в пространстве, в частности, и для направлений декартовых координатных осей х, у, г:
f = ди
'Л дх '
f = dU
Iv ди ’
f = - ^L
'2 дг ’
(28.6)
Формулы (28.6) определяют проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и Сам вектор силы. В соответствии с (2.8)
J / 0U . , dU . , dU t \ /OQ ~
f = -Ur,+i>ri+-ark)- <2а7>
В математике вектор
да , і да . . да ,
~0х ' ду1~*~дг ’
где а — скалярная функция х, у, г, называется градиентом этого скаляра и обозначается символом
IOO
grad а. Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком
f = — grad U.
(28.8)
Пр и м е р. Возьмем в качестве примера поле (:ил тяжести. Ось z направим по вертикали вверх (рис. 67). При таком выборе коорди- г
натиых осей потенциальная энергия будет иметь вид [(CM. (27.12)]
U = mgz + const.
Проекция силы на оси согласно (28.6) равны
І ж = 0. L = 0, І г
mg,
f=wg
Рис. 67.
откуда следует, что сила равна mg и направлена в сторону, противоположную направлению г, т. е. вниз по вертикали.
§ 29. Условия равновесия механической системы
В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Если система находится в таком состоянии, что скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение, т. е. система будет находиться в равновесии.
Таким образом, для замкнутой системы равновесной может быть только такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы.
Рассмотрим случаи, когда взаимное расположение тел системы может быть определено с помощью только одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести систему Земля — шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно изогнутой
101
проволоке (рис. 68, а). Другим примером может служить прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий по горизонтальной направляющей (рис. 69, а). Графики функции U (х) показаны на рис. 68, б и 69, б. Минимумам U соогветствуют значения х, равные X0 (на рис. 69
Xo есть длина недефор-мированной пружины). Условие минимума U имеет вид
dU
и
dx
= 0. (29.1)
В соответствии с (28.6) условие (29.1) равнозначно тому, что
'L = O (29.2)
(когда U является функцией только одной ди
переменной X, -TjJ- = = dU \ dx г
Таким образом, конфигурация системы, соответствующая минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда U является функцией нескольких переменных.
В случае, изображенном на рис. 68, условия (29.1) и
(29.2) выполняются также для х, равного Xo (т. е. для максимума Cf). Определяемое этим значением х положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при х ~ Xo будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения хо. Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивою равновесия (для которого х = хо), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.
