Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью V, обладает вначале кинетической энергией mv2j2 и потенциальной энергией, равной нулю. Постепенно теряя скорость, тело сможет подняться на высоту h, связанную с начальной скоростью соотношением (27.15). На высоте h скорость, а следовательно,
65
и кинетическая энергия тела, станет равной нулю, но зато его потенциальная энергия станет равной первоначальному запасу кинетической энергии.
В обоих случаях (падения и подъема тела вблизи по-верхносги Земли) полная энергия тела остается неизменной (сопротивлением воздуха движению тела пренебрегаем). Легко убедиться1) в том, что на любой промежуточной высоте h' (0 < h' < h) сумма
mv'2 . ,,
2—mgh
(d' — скорость на рысоте h') равна mgh или .
Этот результат получился потому, что тело находилось под действием только силы, обусловливающей на* личие потенциальной энергии (сила mg есть внутренняя сила, действующая в системе Земля — тело). Иначе обстоит дело при наличии внешних сил. За счет работы, совершаемой этими силами над телами, образующими систему, будет происходить изменение полной энергии системы. Пусть, например, первоначально покоившееся на поверхности Земли тело M окажется под действием силы /, большей силы тяжести mg и имеющей направление вверх по вертикали (эта сила может исходить только от тел, не входящих в систему Земля — тело М). Тогда тело начнет подниматься с некоторым ускорением, вследствие чего его потенциальная и кинетическая энергии будут расти, причем увеличение полной энергии будет равно работе, совершаемой над телом M внешней силой /.
Полная механическая энергия системы, состоящей из N тел, между которыми действуют консервативные силы, слагается из потенциальной энергии системы как целого и из кинетической энергии системы, которая в свою очередь слагается из кинетических энергий отдельных тел, образующих систему:
E-U + T-U + %^. (27.Ї6)
i-i
’) Рекомендуется проделать это в порядке упрзашения.
86
Закон сохранения энергии. Рассмотрим систему из N тел, между которыми действуют только консервативные силы (рис. 65). Предположим, что тело 1 переместилось по произвольной траектории в положение 1'. При этом силы, с которыми действуют на тело 7 все остальные тела системы, совершат работу, не зависящую от пути перемещения тела 1 и определяющуюся лишь начальным и конечным положениями тела относительно всех других тел. Аналогично при перемещении всех N тел в новые положения над этими телами кон- !
сервативные силы, действую-
щие в системе, совершат ра- о
боту, величина которой за-
6S
висит только от начального и конечного расположения тел друг относительно дру- W Csd
та. Следовательно, каждому : \}
взаимному расположению \
(каждой конфигурации) тел \
можно приписать опредс-ленное значение потенциальной энергии U1 и работу Рис. 05.
консервативных сил при переходе от одной конфигурации к другой вычислять как разность значений U, соответствующих этим конфигу* рациям:
Al2=Ui-U 2. (27.17)
Пусть на тела системы, кроме внутренних консервативных сил, действуют также внешние силы. Работу, совершаемую всеми силами, приложенными к і-му телу системы, можно представить как сумму работы (Ai2)i-, совершаемой внутренними силами, и работы Ai, совершаемой внешними силами, действующими на данное тело. Полная работа идет, как мы знаем, на приращение кинетической энергии тела [см. (27.8)]. Следовательно,
(Ai2)i + A^ = (T2)i-(Ti)i. (27.18)
Суммируя выражение (27.18) по всем телам системы, получим:
S(H12)1 + S Ai = S (T2)i - S (Tl)i. (27.19)
7 И. В. Савсльео, т. I
97
Первая из сумм в выражении (27.19) представляет собой работу консервативных сил, совершаемую над телами при переходе системы из начальной (первой) конфигурации в конечную (вторую). Согласно (27.17) эта работа может быть представлена как разность значений потенциальной энергии системы в начале и в конце процесса:
Ii(Al2)l = Ul-U2.
Вторая сумма в левой части выражения (27.19) представляет собой полную работу внешних сил, совершаемую над телами системы. Обозначим ее А'.
Правая часть в (27.19), очевидно, равна T2 — Tь т. е. разности значений полной кинетической энергии системы в конечном и начальном состояниях.
Таким образом, формуле (27.19) можно придать вид
U1-U2 + Ar = T2-Tl.
Группируя соответствующим образом члены, получим:
(T2 + U2) - (T1 + U1) = А'.
Наконец, введя обозначение полной энергии системы E = T + U, мы придем к соотношению
AE = E2-E1 = A', (27.20)
Итак, приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют консервативные силы, оказывается равным работе внешних сил, приложенных к телам системы.
Если система замкнута, т. е. внешние силы отсутствуют, то согласно (27.20) ДE = 0, откуда следует, что
E = const. (27.21)
В формулах (27.20) и (27.21) заключено существо одного из основных законов механики —закона сохранения энергии. В механике этот закон формулируется следующим образом: полная механическая
энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается посто-
