Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поле центральных сил также потенциально. Элементарная работа на пути As (рис. 60) равна Д A = f (г) Asf.
Ho проекция As на направление силы в данном месте, т. е. на направление радиуса-вектора г равна Ar — приращению расстояния тела от точки О: As/ = А г. Поэтому
Л Л = I (г) Ar.
Работа на всем пути
A-V1A-I1 =
Рнс. 59.
Iim
Ar,--» О
5J f (гi) Ari =
= І f(r)dr.
Последнее выражение зависит, очевидно, только от вида функции f(r) и от значений г, и г2. От вида траектории оно никак не зависит, поэтому центральное поле сил тоже потенциально.
§ 27. Энергия. Закон сохранения энергии
Как показывает опыт, тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другими телами. Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется э н е р-
89
гией. Энергия тела может быть обусловлена причинами двоякого рода: во-первых, движением тела с некоторой скоростью и, во-вторых, нахождением тела в потенциальном поле сил. Энергия первого вида называется кинетической энергией. Энергия второго вида называется потенциальной энергией. Кратко можно сказать, что кинетическая энергия — это энергия движения, а потенциальная — энергия положения.
Кинетическая энергия. Пусть тело 1 (имеется в виду материальная точка) массы т, движущееся со скоростью V, действует на соприкасающееся с ним тело 2 с силой f (рис.- 61). За время dt точка приложения силы получит
______Li ] перемещение ds — vdt, вследствие
г 7 *7 чего теЛО І совершит над телом 2
работу
Xu dA = ids = fvdt. (27.1)
Рис. 61. Очевидно, что в данном случае
тело 1 совершает работу над другим телом за счет запаса энергии, которой оно обла« дает в силу своего движения, т. е. за счет запаса кине* тической энергии T (если бы тело 1 не двигалось, было бы равно нулю перемещение ds, а следовательно, и работа dA). Поэтому совершенную телом 1 работу можно приравнять убыли *) его кинетической энергии:
dA=- dT.
¦) Изменение какой-либо величины а можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины а, которое мы будем обозначать А а, называют разность конечного (а2) и начального (O1) значений этой величины:
приращение = До = а2 — at.
Убылью величины а называют разность ее начального (й|) и конечного (а2) значений:
убыль = Oi — а2 = — Да.
Убыль величины равна ее приращению, взятому с обратным знаком.
Приращение и убыль — алгебраические величины. Если а2 > аи приращение положительно, а убыль отрицательна. В случае, когда а2 < (it, приращение отрицательно, а убыль положительна.
90
Приняв во внимание (27.1), найдем, что
dT=-ivdt. (27.2)
По третьему закону Ньютона тело 2 действует на тело 1 с силой F = —f, вследствие чего скорость тела / получает за время dt приращение
dv = — f' dt = —— f dt.
т т
Умножив скалярно обе части последнего равенства на mv, найдем, что
mv dv = — f v dt. (27.3)
Сравнивая (27.3) с (27.2), получим выражение для d'T:
dT = mvdv. (27.4)
Согласно формуле (24.8) скалярное произведение
V dv можно представить в виде &j<iv|cosa = u(rfv)npi)1), где (dv)npt, — проекция вектора dv на направление век-- о
тора V. '
Из рис. 62 легко заклю* ^м)при
чить, что (dv)npv равна при- Рис. 62.
ращению модуля скорости,
т. е. dv. Поэтому выражение (27.4) можно записать следующим образом:
dT — mv dv = d • (27.5)
Отсюда следует2), что кинетическая энергия материальной точки массы т, движущейся со скоростью у, равна
Г = — . (27.6)
Умножив на т числитель и знаменатель выражения
(27.6) и приняв во внимание, что произведение mv
1) Нельзя писать это выражение в виде v ¦ dv ¦ cos а, так как, вообще говоря, I dv \.ф dv.
2) Интегрирование уравнения (27.5) приводит к выражению tnv^
T = —2—Ь const. Однако нз физических соображений ясно, что при
Ii = O кинетическая энергия T также равна нулю, откуда следует, что константу нужно положить равной нулю.
Ql
равно импульсу тела р, выражению для кинетической энергии можно придать вид
(27.7)
Отметим весьма важное обстоятельство: работа А', совершаемая над телом, равна приращению его кинетической энергии AT = T2— T1. Чтобы доказать это, напишем выражение для элементарной работы
(f'—сила, совершающая над телом работу, v — скорость тела). Теперь заменим произведение Vdt через dp = т dv [см. (22.4)], в результате получим
Проинтегрировав это выражение, придем к формуле
Из (27.8) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа. Это дает возможность измерять энергию, в тех же единицах, какие используются для измерения работы.
Потенциальная энергия. Рассмотрим тело (имеется в виду материальная точка), находящееся в потенциаль: ном. поле сил. Сопоставим каждой точке поля (характеризуемой радиусом-вектором г) определенное значение некоторой функции U(г), осуществив это следующим образом. Для некоторой исходной точки 0 примем произвольное значение функции, равное U0- Чтобы получить значение функции U1 в некоторой точке 1, прибавим к U0 работу А ю, которую совершают над телом силы ноля при перемещении тела из точки 1 в точку 0:
