Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести — в' каждой точке пространства на него действует сила P = mg, направленная по вертикали вниз.
В качестве второго примера рассмотрим тело Al, «привязанное» пружиной к некоторому центру О (рис. 56). Один конец пружины может вращаться на шар* нире вокруг неподвижной точки О в любом направлении, другой ко-нец прикреплен к телу М. В каж' дой точке пространства на тело Af действует сила, направленная по радиусу (т. е. вдоль прямой, проходящей через центр О и тело М) и равная
f=-k{r-r0), (26.1)
где г — расстояние тела от центра О, го — длина неде-формированной пружины, k — коэффициент пропорцио» нальности. Если г > г0 (пружина растянута), сила на-'правлена к центру и имеет знак «—» (направления силы и радиуса-вектора г противоположны); если г < г0 (пружина сжата), сила «направлена от центра и имеет знак « + ». Рассмотренное поле сил представляет собой частный случай так называемого поля центральных сил, характерного тем, что направление силы, действующей в любой точке пространства, проходит через некоторый центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра f — f(r).
Поле сил тяжести тоже является частным случаем центрального поля сил.
Приведенные примеры характерны тем, что силы, действующие на тело, зависят только от положения тела в пространстве (точнее, от положения тела по отноше-
86
нию к другим действующим на него телам) и не зависят от скорости тела.
Для сил, зависящих только от положения тела, может случиться, что работа, совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве. В этом случае поле сил называется потенциальным, а сами силы — консервативными. Силы, работа которых зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, называются неконсервативными.
Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. В самом деле, разобьем замкнутый путь, по которому совершает обход тело, находящееся в потенциальном поле, на две части: путь /, по которому тело переходит из точки 1 в точку 2, и путь //,
f
Рис. 58.
по которому тело переходит из точки 2 в точку 1, причем точки 1 и 2 выберем совершенно произвольно (рис. 57). Работа на всем замкнутом пути будет равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:
Л = (Л12)і + (Л2і)ц.
(26.2)
Покажем, что работа, совершаемая на каком-либо пути, например на пути II (рис. 57), при переходе тела по нему из точки / в точку 2 равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой на том же пути при обратном переходе из точки 2 в точку 1. Рассмотрим участок траектории As (рис. 58). Поскольку в потенциальном поле сила f зависит только от положения тела в пространстве и не зависит от состояния движения тела
87
(в частности, от направления движения), элементарная работа на пути As при движении в -одном направлении равна АЛ = f As, при движении же в другом направлении ома равна АЛ'= fAs'. Так как As' = —As, то ЛА' = —АЛ. Это справедливо для любого элементарного участка пути, а следовательно, и для работы на всем пути, так что
(Л2,)„ = - (Л,^„. (26.3)
Воспользовавшись полученным результатом, равенство (26.2) можно записать следующим образом:
л = (Л12), — (Лгли. (26.4)
Ho в потенциальном поле сил работа не зависит от пути, т. е. (Л|2)і = (Ліг)іг- Следовательно, выражение
(26.4) равно нулю, что и требовалось доказать.
Если работа каких-то сил на любом замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил при переходе тела т одного положения в другое, очевидно, не зависит от пути (это можно доказать, обратив ход проведенных выше рассуждений). Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Поскольку работа в потенциальном поле сил на замкнутом пути равна нулю, на одних участках замкнутого пути силы совершают положительную работу, а на других—отрицательную. Работа сил трения за промежуток времени At согласно (24.10) равна
АЛ = fv At = — fv At,
гак как векторы f и v все время имеют противоположные направления1). Следовательно, работа сил трении все время остается отрицательной и на замкнутом пути будет отлична от нуля. Таким образом, силы трения принадлежат к числу неконсервативных сил.
Докажем, что поле сил тяжести является потенциальным. Сила, действующая на тело в любой точке траек-
') Здесь имеется н виду случай трения между движущимся телом и неподвижными (относительно системы отсчета) телами. В некоторых случаях работа силы трения может оказаться положительной. Это бывает, например, тогда, когда сила трения обусловлена взаимодействием данного тела с другим, движущимся в том же направлении, но с большей скоростью.
88
торин, имеет одинаковую величину P = mg и направление—-вниз по вертикали (рис. 59). Поэтому согласно
(24.12) работа равна A = Pihl- A2) =
= mg (Л, — A2). (26.5)
Это выражение, очевидно, не зависит от пути, откуда следует, что поле сил тяжести потенциально.
