Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
торов ‘).
Итак, скалярное произведение по определению равно AB = AB cos а. (24.6)
При а остром AB больше нуля, при а тупом AB меньше нуля; скалярное произведение двух взаимноперпендикулярных векторов (а = л/2) равно нулю.
Заметим, что под квадратом вектора подразумевают скалярное произведение вектора на самого себя:
A2 = AA = AA cos O = A2 (24.7)
') Менее употребительны такне обозначения: А • В н (А, В).
82
(векторное произведение вектора на самого себя равно нулю). Следовательно, квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Из определения следует, что скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей, так что в отличие от векторного произведения скалярное произведение коммутативно.
Выражению (24.6) можно придать следующий вид: AB = AB cos а = А (В cos а) = В (A cos а).
Из рис. 54 видно, что Bcosa равно Ba — проекции вектора В на направление вектора А, аналогично Лсо8а = Лв— проекции вектора А на направление вектора В. Поэтому скалярному произведению можно дать и другое определение: скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго вектора на направление первого:
AB = AbB = ABa. (24.8)
Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов. Отсюда следует, что
А (В+ С+ ...) = Л (В + С + .. .)А = А (ВА + Ca + ...) =
= ABa + ACa+ ... = AB + AC + ...
Таким образом, скалярное произведение векторов дистрибутивно— скалярное произведение некоторого вектора А на сумму нескольких векторов равно сумме скалярных произведений вектора А на каждый из слагаемых векторов, взятый в отдельности.
Воспользовавшись скалярным произведением векто' ров, выражение для работы (24.4) можно записать в следующем виде:
A= Iim VfiAsi= f fds, (24.9)
As,-»o J
1 S
где под As подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали через Ar (модуль, элементарного перемещения |Аг| равен в пределе элементарному пути As (см. § 3)).
Пусть на тело действуют одновременно несколько
сил, результирующая которых равна f = Sfft. Из
к
83
дистрибутивности скалярного произведения векторов.вытекает, что работа Л/4, совершаемая результирующей на пути As, может быть вычислена по формуле
т. е. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.
Если сила имеет постоянную величину и направление (рис, 55), вектор f в формуле (24.9) можно вынести за знак интеграла, в результате чего выражение для работы примет вид
где S —вектор перемещения, a Sf — его проекция на направление силы.
FIa. практике имеет значение не только величина совершенной работы, но и время, в течение которого она совершается. Поэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, вводится величина, показывающая, какую работу данный механизм
ЛЛ = (2 fЛ As = V (fft д8) а 2 AAkt \ k I k k
Элементарное перемещение As. может быть представлено как
As = V At.
Поэтому формуле (24.9) можно придать вид
В соответствии с (24.8) fs As = = f As/, где AS/ —проекция элементарного перемещения на направление силы. Поэтому работу можно записать как
f
A= Iim ^fi(Asf)i=Jfdsf.
(24.11)
(24.12)
§ 25. Мощность
84
совершает в единицу времени. Эта величина называется мощностью. Таким образом, мощность W есть величина, равная отношению работы АЛ к промежутку времени А/, за который она совершается:
Если за одинаковые, сколь угодно малые промежутки времени А і совершается неодинаковая работа АЛ, мощность оказывается изменяющейся со временем. В этом случае вводится в рассмотрение мгновенное значение мощности:
В случае, когда мгновенная мощность (25.2) непостоянна, выражение (25.1) дает среднее значение мощности за промежуток времени At.
Пусть за время dt точка приложения силы получает перемещение ds. Тогда элементарная работа dA, совершаемая за время dt, будет равна
я мощность можно представить в ряде
Ho -Jj- равно вектору скорости v. Следовательно,
мощность оказывается равной скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы:
Единицы мощности. За единицу мощности принимается такая мощность, при которой в единицу времени (сек) совершается работа, равная единице (дж или эрг). В СИ единицей мощности является ватт (вт), равный джоулю в секунду (дж/сек). Единица мощности в СГС-системе (эрг/сек) специального названия не имеет. Соотношение между ваттом и эрг/сек: 1 вт *= IO7 эрг/сек.
в мкгсс -системе единицей мощности служит лошадиная сила (л. с.), равная 75 килограммометрам в секунду. 1 л. с. .= 736 вт.
(25.1)
(25.2)
dA = ids,
W = tv.
(25.3)
85
§ 26. Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные
Рис. 56.
Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено воздействию других Тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, говорят, что это тело находится в Поле сил. Так,
