Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА III
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ § 24. Работа
Пусть тело, на которое действует сила f, проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующей движению. Действие f на пути s характеризуется величиной, которая называется работой.
Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения fs и пути S, проходимого точкой приложения силы:
A = fss. (24.1)
Выражение (24.1) справедливо в том случае, если величина проекции силы fs на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается все время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила f образует с направлением движения постоянный угол а. Поскольку fs = fcos а, выражению (24.1) можно придать следующий вид:
A=fscosa. (24.2)
Работа — алгебраическая величина. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cosa>0), работа положительна. Если угол а — тупой (cosa<0), работа отрицательна. При а = п/2 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно
79
отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряженно, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает 5 много усилий, Т. е. «CO'
вершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю.
Если величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во время движения, для вычисления / aSi 2 S работы следует разбить
путь s на элементарные Рис. 52. участки As, взяв их
столь малыми, чтобы за время прохождения телом такого участка величину /, можно было считать почти неизменной. Тогда работа силы на каждом элементарном участке приближенно равна
Д,4 ?s /. As,
а работа на всем пути s может быть вычислена как сумма элементарных работ:
A = 2 АЛ- L- As,. (24.3)
При устремлении всех Asi к нулю приближенное равенство (24.3) перейдет в строгое равенство:
А = Iim V fы Asi= lfsdsl). (24.4)
As,-*о ¦“* J
* S
На рис. 52 построен график fs как функции положения точки на траектории (горизонтальную ось можно назвать осью s, длина отрезка этой оси между точками 1
') Ход рассуждений в данном случае точно такой, как и Hf .; выводе формулы для пути, пройденного при неравномерном двп жении (см.~§ 4).
80
в 2 равна полной длине пути). Из рисунка видно, что элементарная работа AЛ; численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки / до точки 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой /ь, вертикальными прямыми / и 2 и осью s.
Найдем работу, совершаемую при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. -Растяжение будем производить медленно, чтобы силу, с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по величине упругой силе f = kx, где X — удлинение пружины. Сила действует в направлении перемещения,
так ЧТО /я — /. Путь, проходимый топкой приложения силы, равен х (рис. 53). Как следует из рис. 53, работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна
А=Ц~. (24.5)
При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении. Проекция силы fx в этом случае отрицательна (сила, действующая на пружину, направлена влево, х растет вправо (см. рис. 53)), все Ax тоже отрицательны, вследствие чего fxAx положительно.
Отметим, что работа упругой силы, т. е. силы, действующей со стороны пружины на деформирующее ее тело, и при растяжении, и при сжатии равна —kx'2!2, так как упругая сила в каждый момент времени равна по
6 И. В Савельев, т, 1
81
величине, но противоположна по направлению силе, вызывающей деформацию.
Единицы работы. В качестве единицы работы служит работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице:
1) в СИ единицей работы является джоуль (док), который равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на пути в 1 метр;
2) в СГС-системе — эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр;
3) в МКГСС-системе — килограммометр (кгС'М), равный работе, совершаемой силой в 1 кгс на пути в 1 метр.
Между единицами работы имеются соотношения:
1 дж =1 н • 1 м = IO5 дин • IO2 см = IO7 эрг\
1 кгс -M = 1 кгс • 1 м = 9,81 н • 1 м = 9,81 док.
Скалярное произведение векторов. Выражение для работы может быть представлено в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения.
Скалярным произведением двух векторов А и В называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла ____________а между ними (рис. 54). Символи-
J3 ' чески скалярное произведение запи-
сывается в виде АВ, без какого-* Рис- либо знака между символами век-
