Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Умножив (22.3) на dt, придем к соотношению:
интегрирование которого дает приращение импульса за промежуток времени, протекший от момента t\ до момента t2:
') Прежде вместо термина «импульс» пользовались термином «количество движения».
2) Эта зависимость имеет вид
где m — масса тела в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью V, т0 — масса покоя, т. е. масса при V = О, с — скорость света в пустоте.
§ 12).
dp = fdt.
(22.4)
(22.5)
74
В частности, если f = const, формула (22.5) дает для приращения импульса за промежуток времени т значение: р2---pi = ft.
Заметим, что из выражения (22.3) следует, что, выяснив, как импульс изменяется со временем, можно установить силу, действующую на тело.
§ 23. Закон сохранения импульса
Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (для краткости будем называть ее системой тел). Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как ыежду собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и-внешние. Внутренними мы будем называть силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними — силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.
В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.
Импульсом системы р называется векторная сумма импульсов тел, образующих систему,
N
P = Pi + P2 + . • • + Pn = 2 Р.-
І — Х
Назовем центром инерции системы точку, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором гс, определяемым следующим образом:
г _ т,г,+Wi2T2+ ... + mNrN . 1>Л- ЕтЛ .
тх + т2+ ... +mN ^ml т
где — масса /-го тела, г{ — радиус-вектор, определяющий положение этого тела в пространстве, т — масса системы.
Декартовы координаты центра инерции равны проекциям гс на координатные оси:
Отметим, что центр инерции совпадает с центром тяжести системы1).
Скорость центра инерции получается путем дифференцирования гс по времени:
v =V 2 т?1 ... H mIxI
с с т т
Учитывая, что IiiiVi есть рь a ^pl дает импульс системы р, можно написать
р = tnve. (23.3)
Tmoim образом, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее Центра инерции.
Пусть система состоит из трех тел (рис. 51). Каждой «з внутренних сил, например f)2, т. е. силе, с которой на тело / воздействует тело 2, соответствует сила f^s, с которой тело 1 воздействует на тело 2, причем по третьему закону Ньютона f 12 = -—hi- Символами Fi, F2
и F3 обозначены результирующие всех сил, с которыми внешние тела воздействуют соответственно на 1-е, 2-е и З е тело системы.
Напишем для каждого из трех тел уравнение (22.3)
Pl =fl2 + f|3+Fl>
-TT P2 = f2l + ^23 + F..,
Рис. 5].
dt
dt
Рз ~ f.4t + Ї32 "і" F3-
Сложим все три уравнения вместе. Сумма внутренних сил будет равна нулю, вследствие чего
dt
(Pi + Р2 + Рз) :
dt
р = F1+ F2 +F3.
(23.4)
При отсутствии внешних сил получается, что d Л It р=0’
следовательно, для замкнутой системы р постоянен.
') Это справедливо только в однородном ноле сил тяжести (CM. § 41).
76
Этот результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тел N. Пользуясь сокращенной записью сумм, уравнение (22.3) для всех N тел можно представить следующим образом:
Выражение (23.5) представляет собой систему N уравнений, отличающихся друг от друга значением индекса L Суммирование в каждом из этих уравнений производится по индексу к, причем в f-м уравнении индекс к пробегает все значения от 1 до N, кроме значения k = і.
Складывая эти уравнения, с учетом того, что f= = —f/u, получим:
Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.
Для замкнутой системы правая часть соотношения
(23.6) равна нулю, вследствие чего р не зависит or времени. Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения импульса, который формули-* руется следующим образом: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Отметим, что импульс остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, при условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если, даже сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, то составляющая импульса в этом направлении будет постоянной. Действительно, спроектировав все величины уравнения (23.6) на произвольное направление х и учитывая, что
ь ф і
(23.6)
1J Cm. формулы (2.11).
77
получим:
N
г=і
откуда и вытекает высказанное нами утверждение.
В соответствии с (23.3) из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.
Можно назвать много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Находясь, например, на скользком полу, невозможно сдвинуть с места какой-либо предмет без того, чтобы самому не начать скользить в противоположном направлении. Действие ракет (и реактивных двигателей) основано на том, что в результате выбрасывания из сопла ракеты струи образующихся при сгорании топлива газов ракете сообщается такой же по величине импульс, какой уносят с собой газы.
