Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
При равномерном движении по окружности ускор&-ние тела и действующая на него сила все время направлены («устремлены») к центру окружности, поэтому
70
их называют центростремительным ускорением и центростремительной силой.
На практике центростремительное ускорение обычно бывает обусловлено одновременным воздействием на движущееся тело нескольких тел. В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружности тела, находящегося под воздействием силы тяжести P и реакции натянутой нити fr (рис. 48). Здесь центростремительная сила f4C является результирующей сил P и f,-.
§ 21. Практическое применение законов Ньютона
Уравнение второго закона Ньютона, написанное в векторной форме, устанавливает в общем виде связь между силой, массой тела и его ускорением. Чтобы осуществить вычисления, нужно, перейти от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранные направления. При этом пользуются следующими свойствами проекций:
1) равные векторы имеют одинаковые проекции;
2) проекция вектора, получающегося умножением какого-то другого вектора на скаляр, равна произведению проекции этого второго вектора на скаляр;
3) проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов.
Рассмотрим несколько примеров.
Пр имер 1. Два тела с массами Ш\ И Aft2 прикреплены К KOH-цам нерастяжимой, невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 49). Нить может скользить по желобку блока практически без трения. Найти силу натяжения нити и ускорение тел.
Каждое из тел находится под воздействием двух сил* силы тяжести P и реакции нити fr (рассмотрение ведем в системе отсчета, связанной с Землей, считая ее инер-циальной). Напишем для обоих тел уравнение второго
Рис. 49.
71
закона:
P1 +f„ =Yn1Wll I
Pi + — WjW2. I
(21.1)
В связи с тем, что нить невесома и скользит по блоку без трения, ее натяжение по всей длине одина ково. Поэтому обе силы реакции имеют одинаковый модуль fr. Вследствие нерасгяжимости нити ускорении обоих тел равны HO величине Wt = W2 = W.
Проектируя первое из уравнений (21.1) на направление А'і (рис. 49), а второе — на направление х2, получаем систему
f, — P,=tn,w, \
} (21.2) P2- fr = IviW. I
Решая систсму уравнений (21.2) относительно неизвестны к Ir и до, получаем:
~ - P1 т2 — rrti
ДО =
fr
IiiiJm2 »i|+Kt P, т a + Pa m, 2пі і т
Illі I Hli
пі і 4- t’li
Рис. 50.
ускорении меняются
Если пи > nil, то w положительно, т. е. ускорение первого тела W1 направлено вверх, а ускорение второго тела W2 направлено вниз. При
т2 < ті направления обоих на' противоположные. В случае ті = та тела движутся без ускорений (или покоятся).
Зная ускорение, легко найти по формуле (8.2) и скорость тел.
Пример 2. Тело массы т подвешено к концу не-растяжимои нити длиной t (рис. 50). Точка крепления нити к опоре движется относительно Земли с постоянным ускорением W, образующим угол а с горизонтом. Найти отклонение нити от вертикали (угол <р) и силу f, с которой тело действует на нить.
Тело будет двигаться с таким же ускорением w, как и точка крепления нити к опоре. Следовательно, урав-
72
пение второго закона для тела имеет вид
P +f, = raw.
Спроектировав векторы, входящие в это уравнение, на координатные оси к и у, получим:
Px + frx = пи»
Py + fry — ""^y
= mwx, \
} (21.3)
= ти> . j
Из рис. DO видно, что
= Py=-P=- mg;
Lx = fr sin ф = f sin ф;
fry — fr COS ф = /-cos ф;
Wr = Di1COsa; 0^ = 0; sin a
(искомая сила f и сила fr равны по величине). Подставим значения проекций в (21.3):
О + f sin Ф = т w cps а,
— mg + f cos ф = inw sin а.
Решая эту систему уравнений относительно ф и f, получаем:
, w cos a
IK Ф =----;--:----,
° т g 4- w sin а
f — т Vgi 4- 2gw sin a + w~. (21.4)
При a = ±я/2 (« + » соответствует направлению w
вверх, «—»— направлению w вниз) формула (21.4) переходит в уже знакомую нам формулу (18.4).
§ 22. Импульс
Уравнению второго закона Ньютона
m?-f (22.1).
можно придать другой вид. Учтя, что масса т в классической механике есть величина постоянная, ее можно внести под знак производной и записать (22.1) следующим образом:
(I ! ¦-'!»•)
dt
73
Векторную величину
р = mv
(22.2)
называют импульсом материальной точки'). Воспользовавшись определением импульса, уравнение второго закона можно написать в виде
а сам закон сформулировать так: производная импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил, действующих на точку.
Уравнение (22.3) справедливо в более широких пределах, чем уравнение (22.1). Как устанавливает теория относительности, масса тела является функцией скорости: с увеличением скорости масса растет. Правда, зависимость массы от скорости такова2), что при скоростях значительно меньших скорости света, масса Остается практически постоянной. Однако при больших скоростях масса начинает быстро расти, вследствие чего уравнение (22.1) становится неприменимым. В то же время уравнение (22.3) остается справедливым и при этих условиях. Таким образом, уравнение (22.3) сохраняет свое значение и в релятивистской механике (см,-
