Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
') Cm. формулу (133.14).
479
Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения а и кривизны поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидко* сти. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полуша* рия (рис. 315). Из-за поверхностного натяжения оба
радиусом сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных точек поверхности.
Средняя кривизна определяется через кривизну нор* мальных сечений. Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R (R — радиус сферы). Величина H = 1 IR дает кривизну сферы. В общем случае различные нормальные сечения, проведенные через одну и ту же точку, имеют различную кривизну. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны:
для любой пары взаимно-перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.
Радиусы Ri и /?2 в формуле (144.2) — алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения
полушария притягиваются друг к другу с силой, равной
f = Ia = 2л Ru.
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария но поверхности S «= яR2 и, следовательно, обусловливает дополнительное давление
Рис. 315.
Кривизна сферической поверхно* сти всюду одинакова и определяется
(144.2)
480
находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен (рис. 316). Таким образом, неплоская поверхность может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны Ri и Rz были одинаковы по величине и противоположны по знаку.
Для сферы Ri — R2 = R и по формуле (144.2) H = 1 IR. Подставляя это значение в (144.1), получаем для добавочного давления под сферической поверхностью
А р = 2На.
(144.3)
Рис. 3)6.
Как показал Лаплас, формула
(144.3) справедлива для поверхности любой формы, если под H понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив в (144.3) выражение (144.2) для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:
д^=а(ж+^)-
(144.4)
Она называется формулой Лапласа.
Добавочное давление (144.4) обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.
Рассмотрим поверхность, имеющую форму кругового цилиндра радиуса R. В качестве нормальных сечений возьмем сечение поверхности плоскостью, проходящей через ось цилиндра, и сечение плоскостью, перпендикулярной к оси (рис. 317). Первым сечением будет прямая (Ri = оо), вторым — окружность радиуса R (R2 = R). Крйвизна цилиндрической поверхности по формуле (144.2) равна 1/2R, т. е. в 2 раза меньше, чем кривизна сферической поверхности того же радиуса. Дополнительное давление под.
Рис. 317.
31 И. В. Савельев, т. I
481
цилиндрической поверхностью радиуса R согласно фор-муле (144.4) равно
Ap-Tf. (144.5)
Если в жидкости имеется пузырек газа, то поверхность пузырька, стремясь сократиться, будет оказывать на газ дополнительное давление. Повторяя рассуждения, приведшие нас к формуле (144.1), можно показать, что величина этого давления равна 2a/R. Найдем радиус пузырька в воде, при котором добавочное давление равно 1 ат. Коэффициент поверхностного натяжения воды при 20° С равен 0,073 н/м, 1 ат соответствует примерно IO5 н/м2, Следовательно, для R получается следующее значение:
п 2а 2 - 0,073 , ? 1п-б , г- «л-З
#=д- = —JQg—»1,5.10 м = 1,5 *10 мм.
Таким образом, Ap = 1 ат при диаметре пузырька примерно 3 мк. Для пузырька диаметром 1 мм добавоч-> ное давление превышает 2 мм рт. ст.
§ 145. Явления на границе жидкости и твердого тела
Все сказанное в § 143 об особых условиях, в которых находятся молекулы поверхностного слоя, целиком от-» носится также и к твердым телам. Следовательно, твер-
дые тела, как и жидкости, об*
________- ладают поверхностным натя-
* /, X х жением.
* ® х^х і При рассмотрении явлений •. V на границе раздела различных сред следует иметь в виду, что
п
}/ X
----------- поверхностная энергия жидко-
сти или твердого тела зависит Рис. 318. не только от свойств данной
жидкости или твердого тела, но и от свойств того вещества, с которым они граничат. Строго говоря, нужно рассматривать суммарную поверхностную энергию аіг двух граничащих друг с другом веществ (рис. 318). Только если одно вещество газообразно, химически не реагирует с другим веществом и мало в нем растворяется, можно говорить просто о поверхностной энергии (или коэффициенте по-
