Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
щим образом:
* * Q = T(S2-S1), (133.9)
Рис-ЗОО. где S1 — энтропия в начале,
a S2 — в конце процесса.
Используя (133.9), количества тепла, получаемые системой в ходе изотермических процессов, образующих цикл, можно записать в виде
Q12 = Tі (S1 — S2), Q34 = T2 (S2 — S1).
Полное же количество тепла, получаемое за цикл, равно
Q= Qi2 + Qm = T1 (S1 - S2) + T2 (S2 - S1) = (T1 - T2) (S1 - S2).
Последнее выражение, как легко видеть, равно площади цикла.
Соотношение (133.7), означающее, что энтропия не может убывать, относится только к изолированным системам. Если система обменивается теплом с внешней средой, ее энтропия может вести себя любым образом. В частности, если система отдает тепло внешним телам (получаемое системой A'Q отрицательно), энтропия системы уменьшается.
Если неизолированная система совершает цикл, то ее энтропия, будучи функцией состояния, принимает в конце цикла первоначальное значение. Однако в ходе цикла энтропия, вообще говоря, меняется, причем должно иметь место как возрастание энтропии на одних участках цикла, так и убывание ее на других участках, поскольку суммарное изменение энтропии за цикл должно равняться нулю.
450
Найдем изменение энтропии при обратимом изотермическом процессе. В соответствии с (133.3) приращение энтропии равно
с с -V Д,<Э
O2-O1-^Tj J .
1-»2
Вынося постоянную температуру за знак суммы, по* лучим:
S2-Sj = -^s A'Q = -^, (133.10)
1->2
где Qi2 — количество тепла, полученное системой при обратимом изотермическом переходе из состояния / в состояние 2. Если это количество тепла отрицательно, S2K. Si.
Для того чтобы найти изменение энтропии при необратимом процессе, нужно рассмотреть какой-либо обратимый процесс, приводящий систему в то же конечное состояние, и вычислить для этого процесса сумму приведенных количеств тепла. Поясним это следующим примером. Имеется изолированная система, состоящая из двух тел, обладающих различными температурами Ti и T2 (Ti > T2). Между телами происходит теплообмен, приводящий к выравниванию их температур. Этот процесс, очевидно, необратим и должен сопровождаться возрастанием энтропии системы.
Предположим для простоты, что теплоемкость обоих тел одинакова и равна С. Тогда конечная равновесная температура обоих тел будет равна
= (133Л1)
Чтобы вычислить изменение энтропии системы, рассмотрим обратимый процесс, приводящий систему в состояние с одинаковой для обоих тел температурой T0, Этот процесс заключается в обратимой передаче первым телом системы какому-то внешнему телу такого количества тепла, что температура первого тела понижается до значения То, и в обратимом получении вторым телом извне такого количества тепла, что его температура повышается до значения Tq. Для того чтобы быть обрати* мыми, оба эти процесса должны протекать так, чтобы
29*
451
температуры каждого из тел системы и соответствующего внешнего тела были в каждый момент времени одинаковы.
Процесс охлаждения первого тела сопровождается приращением его энтропии:
asI-J 1T- = I ^f- = CIn Tt
г, Tt
Процесс нагревания второго тела сопровождается приращением его энтропии:
^jV = J^=c,ni
Г2 т,
Отметим, что, поскольку Tl>To>T2, ASi отрицательно, a AS2 положительно.
Изменение энтропии системы складывается из изменений энтропии отдельных тел:
Ijt гр у»2
AS = AS,+AS2 = Cln^ + Cln-^ = Cln~-. (133.12)
У I I2 * 1' 2
Подставив в (133.12) значение (133.11) для T0, получим окончательное выражение для приращения энтро* пии системы:
AS = Cln
4Гі/2
Покажем, что это выражение действительно больше нуля. Для этого преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, следующим образом:-
(Г,+Г2)2 T2 +27-,7-2 + T2 7-2-27-,7-2 + 71 + 47-,7-2 47-,7-2 4Г,7-2 47-,7-^ *
^ 47\Тг ^ '
Поскольку это выражение больше единицы, логарифм его положителен и, следовательно, AS > 0.
Вычислим работу, совершаемую системой тел при обратимом изотермическом процессе. Согласно уравне* нию (95.4)
d'A = d'Q — dU.
т о
452
Как следует из формулы (133.5), при обратимом про» цессе d'Q =* TdS. Подставив это значение в выражение для d'A, получим:
d'A = TdS- dU.
Так как dT = 0 (процесс изотермический), величину TdS можно заменить через d(TS). Тогда выражение для работы примет вид:
d'A = d(TS)-dU = -d(U-TS). (133.13)
Таким образом, при обратимом изотермическом процессе работа, совершаемая системой над внешними телами, оказывается равной убыли величины
F-=U-TS, (133.14)
которая, как легко видеть, является функцией состояния, йта величина получила название свободной энергии. Она представляет собой ту часть внутренней энергии системы, которая превращается во внешнюю работу при обратимых изотермических процессах. Величину TS, равную разности между внутренней и свободной энер* гиями, называют иногда связанной энергией.
Интегрируя соотношение (133.13), получим:
(•^12)изотермич = Ti P2. (133.15)
Заметим, что в случае адиабатического процесса (Q — 0) совершаемая системой работа равна убыли внутренней энергии Системы:
