Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Трение всегда связано с превращением работы в теплоту, т. е. является типичным необратимым процессом. Поэтому у обратимой машины трения не должно быть. Пусть какая-то обратимая машина получает за цикл тепло Qi и совершает работу А. Нарушим обратимость машины, допустив трение, например, между цилиндром и поршнем. Из-за трения часть работы А превратится в тепло, которое либо перейдет к холодильнику, либо рассеется в окружающую среду. В результате, получая от нагревателя то же количество тепла Qi, что и прежде, машина будет совершать работу, меньшую А, а следовательно, и к. п.д. после появления необратимости станет меньше.
28*
435
Итак, мы доказали следующие утверждения:
1) к. п. д. всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и холодильника), одинаков;
2) к. п. д. необратимой Машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.
§ 129. К. п. д. цикла Карно для идеального газа
В предыдущем параграфе было выяснено, что к. п. д. обратимой машины не зависит от ее устройства и свойств рабочего вещества и определяется только тем-р пературой нагревателя и
холодильника. Однако вид зависимости к. п. д. от температуры нагревателя Ti и температуры холодильника Tz остался невыясненным. Чтобы найти эту зависимость, естественно рассмотреть машину с рабочим веществом, свойства которого отличаются наибольшей простотой. Такими свой* ствами обладает идеальный газ. При достаточ» но большой теплоемкости нагревателя и холодильника единственным обратимым циклом будет, как мы знаем (см. § 127), цикл Карно.
Итак, рассмотрим цикл Карно для идеального газа. Если нам удастся найти к. п. д. такого цикла как функцию температур Ti и T2, то тем самым мы найдем выражение для к. п. д. всех обратимых машин.
К. п. д. тепловой машины по определению равен
Qi -Q?
Л = 029.1)
где Qi — тепло, получаемое за цикл от нагревателя Qf2 — тепло, отдаваемое за цикл холодильнику.
При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому коли-
436
чество полученного газом тепла Qi равно работе A12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 293). Эта работа согласно (105.9) равна
Qi = Ai2 = ^RT , (129.2)
где т —масса идеального газа в машине.
Количество отдаваемого холодильнику тепла Qi равно работе /4м, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна
Qt=ArM = -^RT2 In-^-. (129.3)
|1 V 4
Для того чтобы цикл был замкнутым, нужно, чтобы состояния 4 и 1 лежали на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие
^1Vr1 = T2Vr1 (129.4)
[см. уравнение адиабаты (103.3)].
Аналогично, поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной и той же адиабате, выполняется условие
TiVl1 = T2Vr'. (129.5)
Деля (129.5) на (129.4), приходим к условию замкнутости цикла:
т?-т:• <129-6>
Теперь подставим (129.2) и (129.3) в выражение
(129.1) для к. п. д.
т V2
TT *'¦ lnTT-T*-1,1 VT
— RT1 |п-?-
ц V1
Наконец, учитывая (129.6), получаем:
Ц = 1^. (129.7)
Таким образом, к. п.д. цикла Карно для идеального газа действительно оказывается зависящим только от температуры нагревателя и холодильника.
Как уже отмечалось, выражение (129.7) дает значение к. п. д. любой обратимой машины.
437
§ 130. Термодинамическая шкала температур
Доказанная в § 128 теорема о независимости к. п. д. обратимых машин от свойств рабочего вещества позволяет установить температурную шкалу, не зависящую от выбора термометрического тела. В соответствии с указанной теоремой величина
T) = -
Qi— Q2
= 1 -
Qi
а следовательно, и отношение Q2/Q1 для цикла Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника. Обозначив величины этих темпе-
\9,
ратур по некоторой, пока не известной нам шкале через Фі и 0?, можно написать, что
Q1
— f (Oi, O2),
(130.1)
где /(Obft2)—универсальная (т. е. одинаковая для всех циклов Карно) функ-ция температур нагревателя и холодиль-, - ника.
1? I Соотношение (130.1) дает возмож-
ность определять температуру тел через Рис. 294. количества тепла, получаемые и отда-
ваемые при циклах Карно.
Докажем, что функция (130.1) обладает следующим свойством:
(130.2)
где 0(0) есть опять-таки универсальная функция температуры.
Рассмотрим две обратимые машины (рис. 294), холодильник одной из которых служит одновременно нагревателем для другой. Предположим, что вторая машина отбирает от резервуара с температурой O2 такое же количество тепла, какое отдает ему первая машина, т. е. что ?2 = 02- В соответствии с (130.1) для каждой из
438
машин можно написать:
§ = Hfli, A2), (130.3)
-1- = /(?,?). (130.4)
Рассматривая обе машины и резервуар с температурой 1O2 как единую обратимую машину1), получающую тепло Qi от нагревателя с температурой iOi и отдающую тепло Q3 холодильнику с температурой 1O3, можно написать, что
^7 = 7(01,03)- (130.5)
Разделив (130.5) на (130.3), получим:
