Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
пролетит без столкновений некоторый путь' I, убывает
экспоненциально с увеличением I. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости V. Если за секунду она претерпевает в среднем v столкновений, то средняя длина свободного пробега, очевидно, будет равна
* = v- (111-2)
Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений V, предположим вначале, что все молекулы кроме данной, застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет
375
лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис. 249). Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис. 249, цилиндра радиуса й.
За секунду молекула пройдет путь, равный V. Очевидно, что число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины V и радиуса d, объем которого равен zid2v. Умножив этот объем на число молекул в единице объема п, получим среднее число столкновении за секунду движущейся молекулы с неподвижными:
v' = it d2vn.
Рис. 249.
В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу. Как показывает соответствующий расчет, _средняя скорость относительно движения молекул в У2 раз больше скорости V молекул относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно
¦V =У~2 std-vn. (111.3)
Подставив это число в (111.2), получим для средней длины свободного пробега следующее выражение:
Заменив эффективный диаметр d эффективным сечением молекулы а, получим следующую формулу:
V 2 ап
(111.5)
Поскольку при постоянной температуре п изменяется пропорционально давлению р, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
Я~-. (111.6)
P
Эффективный диаметр молекул, как уже отмечалось, убывает с ростом температуры. Поэтому средняя длина
свободного пробега с повышением температуры растет. Зависимость X от T дается формулой Сёзерленда:
K = Xcol^-, (111.7)
где С — характерная для каждого газа постоянная вели* чина, имеющая размерность температуры и носящая название постоянной Сёзерленда, Xx— средняя длина свободного пробега при T = оо.
Из (И1.7) следует, что при температуре T = C значение К составляет 0,5tao.
На рис. 250 показана зависимость X от температуры для кислорода (С= 125°).
377
Оценим по порядку величины среднюю длину свободного пробега и среднее число столкновений в секунду. В § 92 мы установили, что молекулы имеют размеры порядка нескольких ангстрем. Примем эффективный радиус молекулы равным 1 А, т. е. IO"10 м. При нормальных условиях п равно числу Лошмидта, т. е. 2,68 • IO25 лг3. Подставив эти данные в формулу (111.4), получим:
X = -=----------!—==-------= ~ 2 • KT7 м = 2 • IO-5 см.
/2 - 3,14-4 - IO-20 • 2,68 ¦ IO2j
При давлении IO'3 мм рт. ст. (что соответствует примерно IO-6 ат) к будет порядка 10 см. Следовательно, если сосуд имеет линейные размеры порядка нескольких сантиметров, то при таком давлении молекулы будут двигаться от стенки к стенке практически без столкновений друг с другом. При давлении IO'6 мм рт. ст. К достигает величины порядка десятков метров.
В таблице 8.приведены значения % при нормальных условиях и эффективные диаметры молекул для некоторых газов.
Таблица 8
Газ А, м при 0° С її 760 мм рт. ст. d. А Газ К м при 0° С н 760 мм рт. ст. d. А
H2 1,10- IO-7 2,75 N2 0,59 • IO-7 3,75
He 1,75- IO-7 2,18 Воздух 0,60 • IO-7 3,74
O2 0,63- IO-7 3,64 CO2 0,39- IO"7 4,65
Число столкновений в секунду можно получить, разделив среднюю скорость молекул V на К. В § 106 мы получили для кислорода U порядка 500 м/сек. Разделив эту величину на взятое из таблицы 8 значение К = = 0,63 • IO-7 м, получим, что число столкновений в секунду равно примерно 8- IO9 сек-1. Таким образом, при нормальных условиях число столкновений составляет несколько миллиардов в секунду. С уменьшением давления число столкновений убывает, изменяясь пропорционально р.
378
§ 112. Явления переноса. Вязкость газов
До сих пор мы рассматривали газ, находящийся в равновесном состоянии. Такое состояние характеризуется одинаковостью во всех точках занимаемого газом объема таких величин, как температура, давление, относительное количество молекул разного сорта и т. п. Теперь мы рассмотрим явления, возникающие при отклонениях газа от равновесия, причем ограничимся случаями, когда эти отклонения невелики. Подобные явле-нйя по причинам, которые выяснятся в дальнейшем, получили название явлений переноса. Мы рассмотрим только три таких явления — внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию.
