Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
%k^k~])+2m^ш Нетрудно убедиться, что ш2 = 1 и
w(d + 6) = -(d + 6)u). (Б. 14)
Обозначим П* пространства 2&-форм с собственными значениями
±1 относительно
оператора ш. В силу соотношения (Б. 14), можно определить
эллиптический комплекс
d + б: П+ -> О", (Б.15)
индекс которого равен
т(П*, d + tf) = dim KerA|su - dim КегД|п- = dim Hlk(X) - dim Hlk(X),
Теорема об индексе
147
где символы Н±к(Х) обозначают пространства гармонических 2А:-форм,
имеющих собственные значения ±1 относительно оператора ш. Применяя теперь
теорему об индексе, получим выражение для индекса многообразия
т(ых) = j ЦХ)
X
через полином Хирцебруха
цх)= Пй^- = , + 5р' + й(7''!_р;) + '¦ '
J J
Пример Б.6. Если dimX =4, получаем приводившийся в §5.3 результат
т(их) = l-Pi(x) =-^ J Тг (ДЛЯ),
х
где R - форма кривизны некоторой римановой метрики на X. ?
Рассмотрим теперь комплекс (Б. 15), когда формы на многообразии X
принимают значения в слоях некоторого комплексного векторного расслоения
V -> X. Тогда оператор d + 6 можно обобщить до оператора
(d + 6)v-
и теорема об индексе в применении к комплексу (П*, (d+ 6)v) дает
r(fi?, (d + tf)K) = J ?(Jr)Ach(V),
x
где ch обозначает характер Чженя, но взятый не от формы напряженности F
связности на V, а от 2F, т. е.
В частности, для dim X = 4 получаем
T=l-dimV J pi+ J 2{c\(V) - Ac2(V)) =j JrRAR-- J Тг F2,
XX XX
что существенно отличается от значения индекса многообразия в Примере
Б.6.
Заметим, что если построить комплекс Де Рама для F-значных форм то его
индекс будет равен dim V ¦ т-е- оказывается малочувствительным к
изменению
расслоения V.
Пусть теперь Е -> X - расслоение на римановы дираковские спиноры. Введем
евклидов оператор Дирака, задаваемый в координатном виде
Т> = тХ2>" - тХ(0, - Л*1Л),
где 7 - евклидовы матрицы Дирака, удовлетворяющие условию
о 5 I 5 л ^
7 7 +77 = ~2? , ft(r) - тетрадные функции некоторой римановой метрики д на
X,
148
Приложение Б. Теорема об индексе
- генераторы группы 50(4) и Л,, - связность на Е. Рассмотрим оператор
ТФ+ + Р f Р = -дГТ>,Рг + RпШ1пЬ1ы = • (Б. 16)
Поскольку д - риманова метрика, оператор (Б. 16) эллиптический. Образуем
комплекс
где Г±(Е) - пространства сечений спинорного расслоения Е, имеющие
собственные значения ±1 относительно оператора 75. Индексом спинорного
комплекса (Б. 17) является
т = dim КегР - dim КегР+ = п+ - п_, где h± - число линейно независимых
решений уравнений Дирака
V>p = О
со спиральностями ±1/2. Применяя теорему об индексе, получим
В случае, когда спиноры снабжены внутренними индексами, т.е. являются
сечениями расслоения
х
где V -> X - векторное расслоение со структурной группой SU(q), получаем
Г+(Е)^Г.(Е)
(Б-17)
В случае dim X = 4т = 4 получаем
Е X V -" X,
х
В частности, для q = 2 находим
п+ - п_ = с,(И),
а для q = 4
Библиография
1. Ф. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными. М.: Изд. МГУ, 1983.
2. У. Братслли, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая
статистическая механика. М.: Мир, 1982.
3. Г. Бредон, Теория пучков. М.: Наука, 1988.
4. А. Виноградов, И. Красильщик, В.Лычагин, Введение в геометрию
нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.
5. Ж.Диксмье, С*-Алгебры и их представления. М.: Наука, 1974.
6. М.Каруби, К-теория. М.: Мир, 1981.
7. С. Ленг, Аиебра. М.: Мир, 1968.
8. С. Маклейн, Гомология. М.: Мир, 1966.
9. У. Масси, Теория гомологий и когомологий. М.: Мир, 1981.
10. А. Робертсон, В. Робертсон, Топологические векторные пространства.
М.: Мир, 1967.
11. Г. Сарланашвили, Современные методы теории поля. 1. Геометрия
и классические поля.
М.: УРСС, 1996.
12. Г. Сарланашвили, Современные методы теории поля. 2. Геометрия и
классическая механика. М.: УРСС, 1998.
13. Г. Сарланашвили, Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая
квантовая теории. М.: УРСС, 1999.
14. Ф. Хирцсбрух, Топологические методы в алгебраической геометрии. М.:
Мир, 1973.
15. Ж. Эмх, Алгебраические методы в статистической механике и квантовой
теории поля. М.: Мир, 1976.
16. E.Abe, Hopf Algebras, Cambridge Tracts in Mathematics, 74 (Cambridge
Univ. Press, Cambridge,
. 1980).
17. R. Adams, Sobolev Spaces (Academic Press, N.Y., 1975).
18. A. Almorox, Supergauge theories in graded manifolds, in Differential
Geometric Methods in Mathematical Physics, Lect. Notes in Mathematics,
1251 (Springer-Verlag, Berlin, 1987), p. 114.
19. L. Alvarez-Gaume and P. Ginsparg, The structure of gauge and
gravitational anomalies, Ann. Phys. 161 (1985) 423.
20. J.Anandan and Y. Aharonov, Geometric quantum phase and angles, Phys.
Rev. D 38 (1988) 1863.
21. I. Anderson, The Variational Bicomplex (Academic Press, Boston,
1994).
22. M. Asorey, J. Carinena and M. Paramion, Quantum evolution as a
parallel transport, J. Math. Phys. 23 (1982) 1451.
23. M.Atiyah, К-Theory (Benjamin, N. Y., 1967).
24. M.Atiyah and I. Singer, The index of elliptic operators, Ann. Math.
87 (1968) 485.
25. M. Atiyah and 1. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra
