Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
HP({U}, S) - #({F}, S)
и, беря прямой предел групп HP({U}, S) по отношению к этим гомоморфизмам,
где {U} пробегает все покрытия пространства X, получаем определение групп
когомологий Н*(Х, S) пространства X с коэффициентами в предпучке S.
Группами когомологий Н*(Х, Р) со значениями в пучке Р называются группы
когомологий со значениями в каноническом пучке {Г(П, Р), Гу}. Если X -
паракомпактное пространство, группы когомологий со значениями в
предпучках S, порождающих один и тот же пучок Р, изоморфны группам Н~(Х,
Р).
Группа Н°(Х, Р) по определению изоморфна группе глобальных сечений Г(Х,
Р) пучка Р.
Пусть / : X -* Y - непрерывное отображение топологических пространств.
Для всякого пучка Р над Y оно индуцирует пучок (расслоение) f*P над X и
определяет гомоморфизм групп когомологий
/* : Я(У, Р) - Н(Х, /*(Р)).
Пучок Р над паракомпактным пространством X называется тонким, если для
любого локально конечного открытого покрытия {?/;} пространства X
существует семейство гомоморфизмов пучков {hi : Р -+ Р}, такое, что:
а) для всякого i найдется замкнутое множество А,, такое, что А, С U, и
ht(Sx) - О для х <? Ait где Sx - стебель в Р над х;
б) ЕМ5.) = ИР.
Пример В.З. Пучок ростков непрерывных вещественных функций на X является
тонким. Чтобы это показать, выберем в качестве /г, умножение на функции
р,, составляющие разбиение единицы для пространства X. Аналогично
устанавливается тонкость пучков ростков гладких функций и внешних
дифференциальных р-форм на гладком многообразии X. ?
Теорема В.1. Группы когомологий НР(Х, Р), р > 0, паракомпактного
пространства X с коэффициентами в тонком пучке Р равны нулю. ?
Рассмотрим точную последовательность пучков
О -* Р -* Ро -+ Pi -*... -* Рр -+ ... (В.6)
над паракомпактным пространством X. Эта последовательность называется
резольвентной пучка Р, если группы когомологий
Н\Х,Р) = 0, 9 > О,
для всех q и р (например, когда все пучки Рр тонкие). Последовательность
(В.6) определяет коцепной комплекс
О -> Г(Х, Р) Г(Х, Ро) Г(Х, Р,) ... (В.7)
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
213
групп глобальных сечений пучков Р, Р0, ..., который, вообще говоря, точен
только в членах Г(Х, Р) и Г(Х, Р0). Имеет место следующая важная теорема.
Теорема В.2. Рассмотрим резольвенту (В.6) пучка Р над паракомпактным
пространством X. Тогда q-я группа когомологий комплекса (В.7) изоморфна
группе когомологий Нд(Х, Р), т. е.
НЯ(Х, Р) = Кет hi/1т кГ'," Я > О, Н°(Х, Р) = KerftJ.
?
Пусть, в частности, Р - постоянный пучок с коэффициентами в Е из Примера
В.2 (будем обозначать его R), а Ря - пучки ростков внешних g-форм на
гладком многообразии X. Рассмотрим последовательность
О -^+ R Ро -+ Р, -> ¦ ¦ ¦ -> Рр -+ ..., (В.8)
где d* - гомоморфизм ростков g-форм, порождаемых внешним
дифференцированием форм. Последовательность (В.8) точна, поскольку росток
всякой замкнутой формы является и ростком некоторой точной формы. Так как
все пучки Рр тонкие, то последовательность (В.8) является резольвентной
для Р. Она определяет комплекс де Рама
0-^Д-^П°(Х)-^-"П1(Х) -" ...
внешних дифференциальных форм на X, и в силу предыдущей теоремы получаем
изоморфизм
НР(Х) = НР(Х, Е)
групп когомологий де Рама НР(Х) и групп когомологий НР(Х, Е) гладкого
многообразия X с коэффициентами в постоянном пучке R.
Библиография
1] Атья М., Хитчин Н. Геометрия и динамика магнитных монополей. М., 1991.
2] Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными. М., 1983.
3] Ботг Р., Ту Л. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.,
1989.
4] Бредон Г. Теория пучков. М., 1988.
5] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., 1968.
6] Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию
нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1986.
7] Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. М., 1986.
8] Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка
результатов М., 1975
Даниэль Д., Виалле С. Геометрический подход к калибровочным теориям типа
Янга- Миллса, УФН, т. 136 (1982) с.377.
0] Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., 1976.
1] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.
Методы теории гомологий. М., 1984.
Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.
3] Иваненко Д., Пронин П., Сарданашвили Г. Калибровочная теория
гравитации. М., 1985.
4] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1, М.,
1981.
5] Маклейн С. Гомология. М., 1966.
6] Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., 1984.
17] Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М., 1979.
[18] Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.,
1985.
[19] Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические
главы. М., 1977.
[20] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., 1987.
[21] Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М.,
1973.
[22] Binz Е., Sniatycki J. and Fisher Н. Geometry of classical fields
