Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
называется фактором множества X по отношению Е, или фактор-множеством
Х/Е.
Например, фактор множества прямых на плоскости по отношению
параллельности - это окружность с отождествленными противоположными
точками, т. е. проективное пространство ЕР1.
Пример 1.1.13. Пусть Н - подгруппа группы G. Рассмотрим на G отношение
эквивалентности Е такое, что дЕд', если д = hg (соотв. д = gh) для
некоторого элемента h Е Н. Фактор группы G по этому отношению
эквивалентности называется левым (соотв. правым) фактор-пространством
G/H. Если Н - инвариантная подгруппа G, т. е. g~'hg ? Н для всех д ? G, h
? Н, то левое и правое фактор-пространства совпадают и G/Н снабжено
структурой группы, называемой фактор-группой. ?
Пусть теперь X - топологическое пространство, наделенное некоторым
отношением эквивалентности Е, и
7г : X -> Х/Е
- каноническое отображение, сопоставляющее каждому элементу из X его
класс эквивалентности. Фактор-множество Х/Е становится топологическим
фактор-пространством, если его снабдить топологией образа из Примера
1.1.6. Это наиболее сильная топология на Х/Е, при которой каноническая
проекция X -> Х/Е непрерывна.
В теории поля имеют дело главным образом с отделимыми локально
компактными паракомпактными топологическими пространствами.
Топологическое пространство, в котором для любых двух различных элементов
х и х! существуют не пересекающиеся между собой окрестность элемента х и
окрестность элемента х', называется отделимым (хаусдорфовым)
пространством.
Например, в дискретном пространстве такими непересекающимися
окрестностями являются сами эти элементы, и дискретное пространство
отделимо. В частности, можно показать, что дискретная топология на
конечном множестве является единственной отделимой топологией.
Евклидово пространство, как и всякое метрическое пространство, отделимо,
поскольку любые его две точки можно окружить открытыми шарами, достаточно
малого радиуса, чтобы они не пересекались. Более того, евклидова
топология является единственной отделимой топологией, согласующейся со
структурой конечномерного векторного пространства.
Всякое подпространство отделимого пространства отделимо, а всякий его
элемент является замкнутым множеством.
Примером неотделимой топологии может служить слабейшая топология на
множестве. Локально евклидово пространство не обязательно отделимо.
12
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.14. Рассмотрим топологическое пространство X, получаемое
склеиванием двух вещественных прямых К, и К2 п0 точкам со строго
положительными координатами = гг > 0. Базу его топологии составляют
открытые подмножества прямых К! и К2 при их естественном вложении в X.
Легко видеть, что это локально евклидово пространство, но его элементы с
координатами гх = 0 и г2 = 0 не являются отделимыми, так как они не имеют
окрестностей, которые бы между собой не пересекались. Построенная склейка
удовлетворяет однако так называемому условию отделимости Фреше: для любых
двух различных элементов пространства х и х' существует окрестность
элемента х, не содержащая х . ?
Отделимое топологическое пространство, всякое покрытие которого открытыми
подмножествами
X = \JU(
содержит конечное покрытие, называется компактным пространством.
Рассмотрим, например, покрытие дискретного пространства открытыми
множествами, каждое из которых состоит из одной точки. Если число точек
пространства более чем конечно, то это покрытие не содержит конечного
подпокрытия и дискретное пространство некомпактно.
Подчеркнем, что и некомпактное пространство допускает покрытие конечным
числом открытых множеств, но не всякое его покрытие содержит конечное
подпокрытие.
Приведенное определение компактного пространства возможно недостаточно
наглядно. Некоторое представление о компактных пространствах могут дать
следующие факты.
• В компактном пространстве любая бесконечная последовательность имеет
предельную точку, т. е. точку прикосновения, всякая окрестность которой
содержит элементы последовательности. В компактном пространстве всякое
замкнутое подпространство компактно, а в отделимом пространстве всякое
компактное подпространство замкнуто.
• Подпространство метрического (в частности, евклидова) пространства
компактно в том и только том случае, когда оно ограничено (т. е.
принадлежит некоторому шару конечного радиуса) и замкнуто.
Само евклидово топологическое пространство не является компактным. Оно
локально компактно.
Отделимое топологическое пространство называется локально компактным,
если всякий его элемент имеет компактную окрестность.
Например, для элементов метрического пространства такими окрестностями
являются шары и оно локально компактно. Дискретное пространство локально
компактно, поскольку компактной окрестностью всякого его элемента служит
он сам.
Локально компактное пространство всегда можно компактифицировать
добавлением так называемой бесконечно удаленной точки.
Для любого локально компактного пространства X существует компактное
