Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 78

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 97 >> Следующая

обоснованию этого ключевого пункта, а именно доказательству следующего
факта.
Если G - компактная группа преобразований многообразия Е с изоморфными
орбитами в Е, тогда существует взаимно однозначное соответствие между G-
инвариантными метриками на Е и тройками (7, А, h) метрики 7 на
пространстве орбит М группы G в Е, калибровочных полей А группы N/H, где
Н - стабилизатор точки в Е и N - нормализатор подгруппы Н в G, и
некоторых скалярных полей h, характеризующих внутреннюю геометрию орбит.
Пусть Е - многообразие, на котором задано правое действие компактной
связной группы Ли G, т. е.
G3g:E3q>-^qg?E.
Для всякой точки q 6 Е обозначим G(q) орбиту группы G в Е, проходящую
через q, а посредством Ня - стабилизатор точки q. Для точек q и q ,
принадлежащих одной и той же орбите, подгруппы Нч и Hq, сопряжены в G, а
значит изоморфны. Для точек, принадлежащих разным орбитам, это, вообще
говоря, не так. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда
стабилизаторы всех точек q Е Е сопряжены с некоторой стандартной
подгруппой Н в G.
Нормализатором подгруппы Н в G называется максимальная подгруппа N группы
G такая, что Н является в N инвариантной подгруппой (нормальным
делителем), т. е.
N = {g G G : дН = Нд}.
Рассмотрим правое фактор-пространство G/Н и фактор-группу N/H. На G/Н
определено правое действие группы G по правилу
д':G/H Э.[д]^[д]д'= [gg']eG/H, (4.19)
где
[ff] = [5*], heH,
§2. Многомерная гравитация
177
обозначает правый класс смежности элемента д из G. Зададим левое действие
п : G/Н Э [5] н- [пд\ G G/H (4.20)
группы N на G/H. Оно перестановочно с правым действием G на G/H: п{[д]д')
= п[дд ] = [пдд ] = [пд]д = (п[д))д .
Более того, действие (4.20) зависит только от класса смежности [п]
элемента п в N/H:
nh'[g] = n[h'g],
т. е. сводится к действию
МЫ = [пд] (4.21)
фактор-группы N/Н на G/H.
Рассмотрим главное расслоение PN/H со структурной группой N/Н над базой М
и ассоциированное с ним расслоение УЬ/я с типичным слоем G/H, на котором
определено правое действие группы G:
9 ¦ (<?, [g])/(N/H) (<?, [gg'])/(N/H), (4.22)
где q G Pn/h и действие группы N/Н на
PN/H х (G/Я)
имеет вид
М : (?) [9]) ^ (?М, [n][9l) = (?М, [пд]).
Поскольку правое действие (4.19) группы G на G/Н и левое действие (4.21)
группы N/H на G/Н перестановочны, действие (4.21) группы G на Pg/h
является послойным. На каждом слое, как на своей орбите, группа G
действует транзитивно, но не свободно (поскольку центр фактор-
пространства G/Н имеет своим стабилизатором подгруппу Я).
Существует вложение PN/н на подмногообразие в PG/н. Оно осуществляется
отображением
7 : Pn/h Э q >-> (q, Ш)/(N/H) g pG/H.
Причем, если q Ф q', то 7(q) Ф 7(q1), поскольку центр [1] фактор-
пространства G/Н не имеет стабилизатора в N/Н и
(<?М, Ш)/(N/H) = (q, [n])/(N/H) ф (q, [I])/(N/H).
Используем все приведенные конструкции для доказательства следующей
теоремы.
Теорема 4.2.1. Пусть Е - многообразие, на котором задано правое действие
группы G такое, что стабилизаторы всех точек из Е сопряжены с некоторой
подгруппой Я в G. Пусть М - множество орбит группы G в Е. Тогда Е имеет
структуру расслоения п : Е -*М над М с типичным слоем G/Н и структурной
группой N/H. ?
Выделим в Е подпространство точек, стабилизатором которых является
подгруппа Я:
Q = {q G Е : qH = g}.
178
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Заметим, что, если q 6 Q, то qg 6 Q тогда и только тогда, когда д 6 N,
поскольку
qgH = qHg = qg
лишь при д 6 N. В силу этого свойства на Q определено правое действие N/H
и оно свободно. Это превращает Q в главное (N/77)-расслоение PN/,, с
базой М. Зададим отображение
Q х G/Н Э (q, [д]) qg Е Е.
Оно обладает свойством
№], [гаГ1^) qg, [п] 6 N/H,
и задает на Е структуру ассоциированного с PN/H расслоения с типичным
слоем G/H. Все описанные конструкции и отображения могут быть сделаны
гладкими.
Рассмотрим теперь индуцируемые Я, N и N/H разбиения алгебры Ли
группы G.
Пусть Я - компактная связная подгруппа Ли группы G. Обозначим (, )
невырожденную G-инвариантную билинейную форму на алгебре , на которой G
действует по присоединенному представлению adG. Пусть Ж' - алгебра Ли
группы Я и .;?я - ее ортогональное дополнение в 3/ . Причем, поскольку
{&", Я) = ((ad Н)(ЖИ), (абЯ)(Я)) = {(айН)(Жн), Я) = О,
имеем
(ad Я)(.'5я) = Жн.
Алгебра Ж и ее ортогональное дополнение Р/п образуют разбиение
= > + •>/,. (4.23)
[JT,
алгебры Ли ^. Так же как алгебра Ли отождествляется с касательным
пространством к многообразию группы Ли G в единице группы, векторное
пространство , наделенное действием айН, может быть отождествлено с
касательным пространством к многообразию G/Н в его центре.
Аналогичное разбиение имеет место для алгебры Ли Ж группы N:
Ж = Ж + жн,
где Жн - ортогональное дополнение Ж в Ж и
[Ж,ЖН]СЖН.
В то же время, поскольку Я - инвариантная подгруппа N, имеем
\Ж, Жн] С Ж.
Отсюда следует, что \Ж', ..%] = 0, и ортогональное дополнение Жп образует
подпространство векторов в касательном пространстве Жн к G/Н,
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed