Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
лоренцевском подрасслоении LhX тогда и только тогда, когда сечение h
является интегральным сечением ассоциированной с Г связности на
расслоении S. Такую связность мы будем называть лоренцевской связностью.
Не каждая связность на LX является лоренцевской. Если задана
псевдориманова метрика g, всякая общая линейная связность Г допускает
разложение
Г={} + 5 + С (4.11)
на символы Кристоффеля { } метрики д, тензор конторсии S и тензор
неметричности С. В голономном атласе они даются следующими координатными
выражениями:
Г = ( 1+9 + С
ai/pi {.он/pi J 1 ^avpi 1 y-'oii/pi)
{ai/pi} {apii/} 2 №p9oiv "Ь &i/Qapi &aQi/pi)->
^avpi - ^votpi "Ь /pict ^'pictv ^pii/a^j
^ati/pi ^ctpii/
172
Глава 4. Геометрии пространства-времени
где О - кручение связности Г. В частности, если связность - лоренцевская,
ее разложение относительно соответствующей псевдоримановой метрики д
включает только символы Кристоффеля и тензор кручения. При переходе от
голономного атласа к атласу Фь, задаваемому тетрадными функциями , имеем
соотношение
5л^ + Г^лЛ1-ГьоЛЛ^=0.
Если Г - лоренцевская связность, редуцируемая к связности Ah на LhX, то
ГоЬ ___ л "об -учоЬ ___ -ут6а
Л - А> -L \ - -I А,
где АаЬ\ - коэффициенты локальной 1-формы связности Ah.
В отсутствии фермионной материи, в качестве гравитационных величин можно
использовать метрическое поле д и тензор кручения О, который входит в
разложение (4.11) лоренцевской связности Г на LX.
Нарушение симметрий в теории гравитации приводит не только к появлению
гравитационного поля, но и индуцирует пространственно-временную структуру
на мировом многообразии X4.
Если структурная группа главного расслоения LX редуцируема к группе
Лоренца L, последняя в свою очередь всегда редуцируема к своей
максимальной компактной подгруппе 50(3). Это означает, что:
• всякое редуцированное расслоение LhX содержит главное редуцированное
подрасслоение LqX со структурной группой 50(3);
• существует атлас Фь расслоения LX и ассоциированных расслоений с 50(3)-
знач-ными функциями перехода;
• всегда существует глобальное сечение расслоения
LhX/SO{3) -> X4,
которое может быть представлено нигде не нулевой тетрадной 1-формой
/i° = da:" (4.12)
на X4.
Более того, имеет место коммутативная диаграмма
GLa -------- 50(4)
(4.13)
"
L ---------------- 50(3)
редукции структурных групп расслоения LX.
Редукция структурной группы L к 50(3), в частности, позволяет задать
глобальное поле (7ь ° h°)(x) = 7° матриц Дирака 70 и построить послойную
L-инвариантную метрику (4.3) в спинорном расслоении Sh.
§ 1. Гравитация
173
В то же время тетрадная форма (4.12) выделяет 3-мерное ориентируемое
подрасслоение FX касательного расслоения ТХ над X4, которое задается
соотношением
t _i h\x) = О, t G FxX.
Его слои FxX являются пространственно-подобными подпространствами
касательных пространств ТхХ относительно псевдоримановой метрики д,
ассоциированной с h. В результате может быть осуществлено (3 + 1)-
разбиение
ТХ = FX (r)Т°Х (4.14)
касательного расслоения на 3-мерное пространственно-подобное
подрасслоение FX и ортогональное ему (относительно д) 1-мерное времени-
подобное дополнение Т°Х. Такое разбиение определяет на мировом
многообразии X4 пространственно-временную структуру, ассоциированную с
данным гравитационным полем h, превращая X4 в пространственно-временное
многообразие. При этом расслоение Т°Х указывает направление локального
времени в каждой точке х Е X4.
Более того, следствием коммутативности диаграммы (4.13) является
следующая известная теорема.
Теорема 4.1.1. Для всякого гравитационного поля д на мировом многообразии
X4 и ассоциированного с ним пространственно-временного разбиения (4.14) с
производящей формой h° (4.12) существует риманова метрика gR такая, что
gR = 2h° (r) h° - д.
?
Риманова метрика gR из Теоремы 4.1.1 индуцирует согласованную с д функцию
расстояния на пространственно-временном многообразии X4, которая
превращает X4 в метрическое топологическое пространство. Его топология
эквивалентна топологии многообразия на X4. Однако для одного и того же
гравитационного поля д, но разных пространственно-временных разбиений
(4.14) мы имеем разные ассоциированные римановы метрики и разные функции
расстояний на X4. В физической интерпретации это означает, что в разных
пространственно-временных системах отсчета наблюдатели должны наблюдать
разные римановы свойства пространства-времени. Известное изменение
видимых размеров тел при переходе к движущейся системе отсчета
иллюстрирует это явление.
Выше уже отмечалось, что существуют топологические препятствия для
редукции структурной группы главного расслоения линейных реперов LX к
группе Лоренца и следовательно для существования гравитационного поля, а
также спинорной и пространственно-временной структур на многообразии X4.
Рассмотрим эти препятствия.
Многообразия X4 классифицируются по следующим характеристическим классам
своих касательных расслоений:
• первый класс Понтрягина рДХ) Е Н4(Х, Z),
