Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Примером замкнутых подмножеств в Ж служат отрезки [а, 6], как дополнения
открытых множеств
] - оо, а[и]Ь, +оо[.
8
Глава 1. Дифференциальная геометрия
В общем случае метрической топологии - это замкнутые шары
Dc(x) = {у : р(х, у) ^ е}.
В дальнейшем под шарами, если специально не оговорено, будут
подразумеваться именно замкнутые шары.
Пусть А - подмножество топологического пространств X. Минимальное
замкнутое множество, содержащее А, называется его замыканием А. Оно
состоит из всех точек прикосновения множества А, т. е. точек, все
окрестности которых пересекают А. Границей множества А именуют множество
дА, состоящее из точек, которые являются точками прикосновения как А, так
и его дополнения X \ А.
Например, замыканием интервала ]а, i[ в 1 является отрезок [а, Ь], а его
границей - множество из двух точек {a} U {Ь}. В метрическом пространстве
границей открытого шара D€(x) является сфера
Se(x) = {у : р{х, у) = е}.
Говорят, что подмножество топологического пространство плотно, если его
замыкание совпадает со всем пространством. Например, подмножество
рациональных чисел (Q) плотно в М.
Подмножество топологического пространства может быть одновременно и
открытым, и замкнутым. Топологическое пространство (или его
подмножество), которое не содержит таких открыто-замкнутых подмножеств,
называется связным, т. е. оно не является объединением двух и более
непустых непересекающихся открытых или замкнутых множеств.
Примером несвязного пространства может служить дискретное пространство,
если оно состоит более чем из одного элемента. Всякое его подмножество
является открытозамкнутым. Связно евклидово топологическое пространство.
Связное открытое подмножество называется областью.
Одно и то же множество может быть наделено различными топологическими
структурами, и это будут разные топологические пространства. Например, на
множестве действительных чисел М могут быть введены дискретная топология,
топология евклидова пространства, или топология, в которой единственным
непустым открытым множеством является само множество М.
Пусть на множестве заданы две топологические структуры такие, что всякое
подмножество, открытое в первой топологии, является открытым и во второй.
Тогда эти топологии называются сравнимыми топологиями и говорят, что
первая топология слабее второй. Грубо говоря, чем больше число открытых
подмножеств, тем топология сильнее. Не всякие две топологические
структуры на множестве сравнимы, но среди всех топологий на множестве
всегда есть слабейшая топология и сильнейшая топология. Первая - это
топология, в которой единственным непустым открытым множеством является
само это множество, а вторая - дискретная топология.
Определим теперь морфизмы топологических пространств. Это отображения
множеств, которые согласуются с их топологическими структурами. Таковыми
являются непрерывные отображения.
Отображение / топологического пространства X в топологическое
пространство X' называется непрерывным, если для любой окрестности V'
элемента х' ? X' и всякого его прообраза х € f'(x') существует
окрестность V элемента х такая, что f(V) С V'. Легко убедиться, что
композиция / о/' непрерывных отображений / и /' тоже является непрерывным
отображением.
§ 1. Топологические пространства
9
Пример 1.1.5. Всякое отображение дискретного пространства в любое
топологическое пространство является непрерывным, поскольку в дискретной
топологии всякий прообраз элемента f(x) сам уже является окрестностью. ?
Отметим, что при непрерывном отображении X -* X' прообраз открытого
подмножества из X' является открытым в X, но образ открытого подмножества
из X может не быть открытым в X'.
Пример 1.1.6. Пусть А - подмножество топологического пространства X.
Индуцированной топологией на А называется топология, открытыми
подмножествами в которой являются всевозможные пересечения А с открытыми
подмножествами из X. Подмножество А, наделенное такой топологией,
называется подпространством пространства X. Топология подпространства
является наиболее слабой топологией на А, при которой естественное
вложение А X непрерывно. Например, пусть А - прямая линия в плоскости R2.
Тогда топология, индуцируемая на А из М2, совпадает с евклидовой
топологией на прямой М. Пусть / - непрерывное отображение топологического
пространства X в топологическое пространство X'. Его образ f(X) в X'
может быть наделен так называемой топологией образа, когда открытыми
подмножествами U в f(X) выбираются такие и только такие подмножества,
прообразы которых f~\U) открыты в X. В общем случае топология образа
сильнее индуцированной топологии на f(X) С X' и f(X) не является
подпространством X'. ?
Гомеоморфизмом топологического пространства X на топологическое
пространство X1 называется непрерывное взаимно однозначное отображение /
пространства X на пространство X' такое, что обратное отображение /_|
тоже непрерывно. Гомеоморфизм обеспечивает эквивалентность топологических
