Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
е. такое подмножество В{х± С В(х), что всякая окрестность элемента х
содержит некоторую окрестность из В(х).
6
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.1. Топологическое пространство называется дискретным
топологическим пространством, если фундаментальная система окрестностей
всякого его элемента сводится к самому этому элементу. Это означает, что
всякое множество, содержащее данный элемент, является его окрестностью в
дискретной топологии. ?
Пример 1.1.2. Рассмотрим случай, когда отношение близости между
элементами множества можно выразить числом - расстоянием между
элементами. Множество X называется метрическим пространством, если для
каждой пары его элементов жиж' задана функция расстояния (метрика) р(ж,
ж'). Она определяется как неотрицательная вещественная функция на
декартовом (прямом) произведении X х X, удовлетворяющая следующим
условиям:
р(ж, ж) = О, р(х, х ) = р(х, ж), р(х, х) + р(х , ж") > р(ж', ж").
Примером метрического пространства служит поле действительных чисел М. с
функцией расстояния
р(ж, ж') = |ж-ж'|. (1.1)
Определим на метрическом пространстве топологию, выбрав в качестве
фундаментальной системы окрестностей каждого его элемента ж множества
D. = {у '¦ р(х, у) < е} (1:2)
для всех е > 0. Такая топология называется метрической топологией.
Например, фун-
даментальная система окрестностей всякого элемента ж поля действительных
чисел К в метрической топологии образована интервалами
De = {у : \у - х\ < е} =]х - е, х + е[ (1.3)
для всех ? > 0. Это топология 1-мерного евклидова топологического
пространства К1.
В дальнейшем мы предполагаем, что К, если оно рассматривается как
топологическое пространство, наделено именно этой топологией. ?
Топологию на множестве можно вводить несколькими эквивалентными
способами, например, задавая семейство его открытых подмножеств.
Подмножество топологического пространства называется открытым, если оно
является окрестностью любого своего элемента. Так, в дискретной топологии
сам элемент уже оказывается открытым подмножеством. В пространстве К
открытыми являются всевозможные интервалы (1.3), тогда как отрезок,
например, не открытое множество, поскольку не является окрестностью своей
граничной точки.
Множество открытых подмножеств топологического пространства обладает
следующими свойствами.
(i) Всякое объединение открытых подмножеств есть открытое подмножество.
(ii) Пересечение конечного числа открытых подмножеств есть открытое
подмножество.
(iii) Пустое множество 0 и само множество X являются открытыми.
§ 1. Топологические пространства
7
Подчеркнем, что свойство (ii) открытых множеств не распространяется на
бесконечное пересечение открытых множеств. Например, пересечение всех
интервалов Dc{x) (1.3) из Примера 1.1.2 сводится к самому элементу х,
который не является открытым подмножеством в метрической топологии на М.
Задание множества открытых подмножеств, удовлетворяющее приведенным выше
условиям, вводит топологию на множестве X. В этом случае окрестность
элемента х Е X характеризуется как множество, которое содержит какое-либо
открытое подмножество, содержащее х.
Пример 1.1.3. Пусть X и X' - топологические пространства. Их произведение
X х X' определяется как декартово произведение множеств X и X',
наделенное топологией, открытыми подмножествами в которой являются
множества вида U xU', где U и U' - всевозможные открытые подмножества X и
X'. ?
Свойство (i) открытых множеств позволяет определить все множество
открытых подмножеств, задав базу топологии, т. е. такое семейство
открытых подмножеств, что всякое открытое подмножество пространства X
является объединением множеств из этого семейства.
Например, базу дискретной топологии из Примера 1.1.1 составляют все
элементы пространства X. Базу метрической топологии - множества вида
D.(x) (1.2) для всех х ? X и е > 0. Они именуются открытыми шарами
радиуса е.
Пример 1.1.4. Евклидовым топологическим пространством размерности п
называется n-кратное произведение
М" = Ж х ... х К.
Базу топологии в нем образуют n-мерные открытые шары
D?(x) = |з/ : ||ж - 2/Ц = (f2(x' - г/)2) <?|, ? > 0.
Это метрическая топология, отвечающая функции расстояния Ца; - г/||. ?
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме
счетно-сти, если оно обладает счетной базой. Например, евклидово
топологическое пространство обладает счетной базой. Ее можно составить из
открытых шаров радиусами I /п (п = 1, 2, ...) с центрами в точках с
рациональными координатами.
Другой эквивалентный способ введения топологии на множестве X - это
задание семейства его замкнутых подмножеств, которое удовлетворяет
следующим условиям:
(i) всякое пересечение замкнутых подмножеств - замкнутое подмножество;
(ii) объединение конечного числа замкнутых подмножеств - замкнутое
подмножество;
(iii) пустое множество и само множество X являются замкнутыми.
В топологическом пространстве X замкнутые подмножества являются
дополнениями X \U открытых подмножеств.
