Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
глобально хорошо определенными. В первую очередь это вызывает замену
операторов частных производных д^ на операторы ковариантных производных
0^ = 8^- ГЛ,
где Г - это некоторая связность на расслоении Y -> X. Связности - это тот
новый важнейший физический объект, к которому приводит геометрическая
формулировка теории поля. Например, в калибровочных моделях
фундаментальных взаимодействий это - связности на главных расслоениях,
интерпретируемые как калибровочные поля - переносчики взаимодействий,
характеризуемых той или иной группой симметрий.
Понятие связности является ключевым в геометрическом подходе к теории
поля. В большинстве учебников по дифференциальной геометрии
ограничиваются рассмотрением связностей на главных расслоениях. Этого
однако недостаточно для описания
4
Введение
динамики полей, построения лагранжева и гамильтонова формализмов. В книге
мы исходим из общего понятия связностей на дифференцируемых расслоениях,
описывая их в терминах тангенциально-значных дифференциальных форм и
многообразий струй.
Многообразия струй - еще один математический объект, которому в данной
книге, в отличие от большинства стандартных учебников по дифференциальной
геометрии, уделяется много внимания. Многообразия струй -• это
пространства, элементами которых являются классы эквивалентности полей,
отождествляемых по первым двум или более членам их разложения в ряд
Тейлора. Теория дифференциальных операторов, как известно, формулируется
именно на языке многообразий струй. Соответственно лагран-жев и
гамильтонов формализмы в теории поля адекватно описываются в тех же самых
терминах.
Важно, что и связности, и многие объекты на многообразиях струй
выражаются через тангенциально-значные дифференциальные формы, которыми
легко оперировать. Эти формы составляют основу применяемой в книге
математической техники.
Помимо связностей, геометрический подход к теории поля вводит в
рассмотрение еще один совершенно новый класс физических величин - так
называемые топологические числа и заряды, описывающие глобальные свойства
полевых конфигураций. Они представляют собой различные гомотопические и
тополого-алгебраические характеристики многообразий и расслоений.
Примерами таких характеристик являются элементы гомотопических групп,
числа Чженя, Понтрягина, эйлерова характеристика и др. Они широко
применяются в солитонных, монопольных, инстантонных и других нелинейных
моделях с различными топологиями. Причем, такие модели не обязательно
предполагают топологическую нетривиальность самого пространства-времени.
Например, если поля на пространственной бесконечности имеют по всем
направлениям одну и ту же асимптотику, их можно рассматривать и
классифицировать как поля на сфере.
Настоящая книга далека от того, чтобы пытаться охватить все
геометрические конструкции, которые ныне используются в теории поля. Само
их перечисление потребовало бы многостраничных пояснений. Мы оставляем на
будущее и геометрические методы в квантовой теории поля, аппарат которой
нуждается в отдельном тщательном с математической точки зрения изложении.
Глава 1
Дифференциальная геометрия
Мы предполагаем, что читатель знаком с основами теории множеств, теории
векторных пространств и теории групп Ли.
В книге используются стандартные обозначения (r), (r), V and А для прямой
суммы, тензорного произведения, симметризованного тензорного произведения
и антисимме-тризованного тензорного (внешнего) произведения
соответственно. Значком j обозначается операция свертки дуальных величин
- векторов и форм.
Символы Эд применяются для упрощенной записи операторов частных
производных по координатам с индексами д.
Композиция отображений обозначается значком о.
§1. Топологические пространства
Топологическая структура, задаваемая на множестве, определяет отношение
близости между элементами множества. Она позволяет придать выражению
"такое-то свойство имеет место для всех точек, достаточно близких к
элементу х" точный смысл. Это означает, что множество точек, обладающих
этим свойством, образует некоторую окрестность элемента х в данной
топологии.
Говорят, что множество X наделено топологической структурой (т. е.
является топологическим пространством), если каждому его элементу х тем
или иным способом отнесено семейство подмножеств из X, называемых
окрестностями этого элемента. Обозначим это семейство В(х). Оно должно
удовлетворять следующим весьма естественным условиям.
(i) Элемент х принадлежит каждой своей окрестности.
(ii) Всякое подмножество X, содержащее какую-либо окрестность элемента х,
также является окрестностью х.
(iii) Пересечение конечного числа окрестностей тоже является
окрестностью.
(iv) Для каждой окрестности V из В(х) всегда существует "меньшая"
окрестность W С V, такая что V G В(у) для каждого элемента у G W, т. е. V
является окрестностью всякого элемента из множества W.
Из условия (ii) следует, что множество окрестностей В(х) можно
определить, задавая фундаментальную систему окрестностей элемента х, т.
