Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
ядре оператора и J'H о у о L - лагранжева связность для L.
Это важный результат, из которого вытекает, что для регулярного
лагранжиана L и
ассоциированного с ним гамильтониана Я соответствующие уравнения Эйлера-
Лагранжа первого порядка (2.8а)-(2.8Ь) и уравнения Гамильтона (2.48а)-
(2.48Ь) эквивалентны.
Перейдем теперь к рассмотрению вырожденных лагранжевых систем,
ограничившись классом полурегулярных (semiregular) лагранжианов L, когда
прообраз L~'(q) всякой точки q пространства связей L(J'Y) является
связным подмногообразием конфигурационного пространства J'Y. Основанием
для нашего выбора является то, что такие лагранжианы с одной стороны
исчерпывают все сколько-нибудь разумные лагранжианы полевых моделей, а с
другой стороны, позволяют установить достаточно полные соотношения между
решениями уравнений Эйлера-Лагранжа и решениями уравнений Гамильтона для
ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых систем.
Пусть L - полурегулярный лагранжиан. Ключевым является следующее
утверждение.
Предложение 2.4.2. Все гамильтонианы, ассоциированные с
полурегулярным лагранжианом L совпадают на пространстве
связей Q. Более того, форма Пуанкаре-
Картана Еь (2.3) для L совпадает с формой, индуцированной из каждого
такого гамильтониана Я посредством отображения Лежандра L, т. е. имеет
место соотношение
El=HoL,
= (2.62)
?
Пример 2.4.3. Пусть У - расслоение из Примера 2.4.2. Выберем
полурегулярный лагранжиан
Ь=\{ух)гш. ..(2.63)
90
Глава 2. Геометрическая теория поля
Соответствующее отображение Лежандра имеет вид
p[oL = yu р2 о L = 0,
и пространство связей Q состоит из точек с координатами р1 - 0. Для
гамильтонианов, ассоциированных с лагранжианом (2.63), имеет место общее
выражение
Н = рх dy А
^(р[)2 + с(х\ X2, у)р2
где с - произвольные функции координат а;1, х2 и у. ?
Соотношение (2.62) из Предложения 2.4.2 в некотором смысле дополняет
условие (2.52Ь) из Определения 2.4.1. Оно приводит к тождеству
(Ух - 0 L) d'Ki Aw- (д^ + о L) dy' A w = 0,
опираясь на которое можно воспроизвести в случае полурегулярных
лагранжианов соотношение (2.60):
Ль = 0 JlL,
но не соотношение (2.61). Поэтому для полурегулярных лагранжианов нет
полной эквивалентности между решениями уравнений Эйлера-Лагранжа и
решениями уравнений Гамильтона, и связь между ними устанавливается
следующей теоремой.
Теорема 2.4.3. Пусть дан полурегулярный лагранжиан L на многообразии
струй J'y расслоения У -> X и П - расслоение Лежандра над У.
(i) Если сечение г расслоения П -> X является решением уравнений
Гамильтона (2.48а) и (2.48Ь) для некоторого гамильтониана Н,
ассоциированного с L, и принадлежит пространству связей Q (2.53), то
сечение
S = Н О г = j\irnY 0 г)
расслоения JlY -+ X удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа первого
порядка (2.8а) и (2.8b), a s = 7гпу о г - уравнениям Эйлера-Лагранжа
второго порядка.
(ii) Обратно, пусть сечение s расслоения J'Y -> X является решением
уравнений Эйлера-Лагранжа первого порядка (2.8а) и (2.8Ь) для L. Пусть Н
- ассоциированный с L гамильтониан такой, что соответствующий импульсный
морфизм Н удовлетворяет условию
HoLos = s. (2.64)
Тогда сечение
г = L о s
расслоения П -> X является решением уравнений Гамильтона (2.48а) и
(2.48Ь) для Н. Очевидно, что оно принадлежит пространству связей Q. ?
Теорема 2.4.3 показывает, что, если гамильтониан Н ассоциирован с
полурегуляр-ным лагранжианом L, всякое решение уравнений Гамильтона,
лежащее в пространстве связей, порождает решение уравнений Эйлера-
Лагранжа. В то же время, чтобы исчерпать все решения уравнений Эйлера-
Лагранжа необходимо рассмотреть некоторое
§ 4. Системы со связями
91
семейство ассоциированных с L гамильтонианов. Назовем такое семейство
гамильтонианов полным, если для любого решения s уравнений Эйлера-
Лагранжа первого порядка (2.8а) и (2.8Ь), существует решение г уравнений
Гамильтона (2.48а) и (2.48Ь) для некоторого гамильтониана Н из этого
семейства такое, что
Согласно Теореме 2.4.3, семейство гамильтонианов, ассоциированных с
данным полу-регулярным лагранжианом, является полным тогда и только
тогда, когда для всякого решения s уравнений Эйлера-Лагранжа первого
порядка существует гамильтониан из этого семейства такой, что выполняется
равенство (2.64).
В полевых моделях с лагранжианами, квадратичными или аффинными по
координатам скоростей, полные семейства ассоциированных гамильтонианов
всегда существуют. Следующий пример показывает, что подобное семейство
может существовать, когда лагранжиан даже не является полурегулярным.
Пример 2.4.4. Пусть Y - расслоение из Примера 2.4.2. Зададим лагранжиан
и пространство связей Q задается координатным условием р' ^ 0. Оно не
является даже подмногообразием П. Рассмотрим два ассоциированных с L
гамильтониана
уравнения (2.66). Легко видеть, что они образуют полное семейство. ?
Исследуем теперь общий случай вырожденных квадратичных лагранжианов.
Удается провести полный гамильтонов анализ таких динамических систем, что
