Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 41

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 97 >> Следующая

потребовать, чтобы для ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых систем
образ конфигурационного пространства J'Y при отображении Лежандра L
содержал все точки фазового пространства, в которых импульсный морфизм Н
регулярен.
Определение 2.4.1. Пусть задан лагранжиан L на многообразии струй
J'Y расслоения Y -> X. Будем говорить, что гамильтониан Н на
расслоении Лежандра П над Y
является ассоциированным с L, если Н удовлетворяет условиям
LoH\Q=ldQ, (2.52а)
Н = Щ + LoS, (2.52Ь)
где
Q = L(JlY) (2.53)
- образ конфигурационного пространства J'Y в фазовом пространстве П при
отображении Лежандра. ?
В координатах условия (2.52а) и (2.52Ь) принимают вид
Pi = у\ д{Ж),
Ж = рЧд^Ж - у\ д{Ж).
Причем последнее из них выглядит как естественное n-мерное обобщение
известного выражения для функции Гамильтона через функцию Лагранжа в
механике.
По аналогии с механикой назовем Q (2.53) пространством связей. Можно
убедиться, что в силу условия (2.52Ь) импульсный морфизм Н не является
регулярным вне пространства связей Q, что и требовалось от
ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых систем. Кроме того, как это
будет показано ниже, все решения уравнений Гамильтона, имеющие своими
аналогами решения уравнений Эйлера-Лагранжа, принадлежат пространству
лагранжевых связей.
Подчеркнем, что с одним и тем же лагранжианом могут быть ассоциированы
разные гамильтонианы. Однако возможны случаи, когда ассоциированные
гамильтонианы, определенные на всем фазовом пространстве Ф, вообще не
существуют.
Пример 2.4.1. Все гамильтонианы Нг (2.39) ассоциированы с
нулевымлагранжианом L = 0. В этом случае пространство связей совпадает с
образом Q = 0(F) канонического нулевого сечения 0 расслоения Лежандра П -
> F. Условие (2.52а) сводится к тривиальному тождеству 0 = 0, и
гамильтонианы Нг удовлетворяют условию (2.52Ь), которое принимает вид
Ж = рЧд\Ж.
?
88
Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.4.2. Пусть Y - расслоение R1 -* К2, параметризуемое координатами
(хх, х2, у). Многообразие струй JXY и расслоение Лежандра П над Y имеют
соответственно координаты (хх, х1, у, у,, у,) и (х1, х2, у, рх, р2).
Выберем лагранжиан
L =
1 г' ехР У1 + 2 Ы
Соответствующее отображение Лежандра
рх о L = ехр уи р2 о L = у7,
является локальным диффеоморфизмом, но не диффеоморфизмом. Пространство
связей Q задается координатным соотношением рх > 0 и является открытым
подмногообразием многообразия Лежандра. На Q существует единственный
ассоциированный с L гамильтониан
Н = р* dy Л и>х - Жш,
Ж = рх(\прх - 1)+^(р2)2
который однако нельзя продолжить на все многообразие Лежандра П. ?
Посмотрим, что есть общего у гамильтонианов, ассоциированных с одним и
тем же лагранжианом L. Всякий такой гамильтониан удовлетворяет
соотношениям
H\q=ZloH\q, (2.54)
дгЖ = о Н, (2.55)
где SL - форма Пуанкаре-Картана (2.3). В частности, равенство (2.54)
означает, что каждый ассоциированный с L гамильтониан Я совпадает на
пространстве связей Q с формой^индуцированной из формы Пуанкаре-Картана
посредством импульсного морфизма Я, хотя разные такие гамильтонианы в
общем случае отличаются друг от друга даже на Q.
Можно предложить следующий способ построения гамильтонианов,
ассоциированных с данным лагранжианом L. Пусть $ - импульсный морфизм.
Построим гамильтониан
HLi = Яф + L о Ф, (2.56)
где Яф - гамильтониан (2.45). Если импульсный морфизм Ф удовлетворяет
соотношениям
L оф |q= Idg, (2.57)
Йы = Ф, (2.58)
то легко убедиться, что гамильтониан (2.56) ассоциирован с L.
Покажем теперь, что многоимпульсный гамильтонов формализм действительно
является естественным партнером лагранжева формализма в теории поля и что
введенное выше понятие ассоциированных гамильтоновых систем имеет
реальный смысл. Рассмотрим для этого случай, когда лагранжиан L регулярен
во всех точках конфигурационного пространства JXY. Более того, говоря о
регулярном лагранжиане, будем в дальнейшем
§4. Системы со связями
89
считать, что соответствующее отображение Лежандра L -- это диффеоморфизм,
а не только локальный диффеоморфизм, поскольку с последним могут быть
связаны трудности, проиллюстрированные в Примере 2.4.2.
Если лагранжиан L регулярен, всегда существует единственный
ассоциированный с ним гамильтониан _
Я = Яг_, +LoL~\
При этом выполняются соотношения
El=HoL. ^ (2.59)
AL = gr"oj'L, (2.60)
%H=kLoJxH, (2.61)
где (ён - оператор Гамильтона (2.46) и кь - производящая форма (2.5).
Глядя на выражения (2.54) и (2.59), можно сделать заключение, что именно
форма Пуанкаре-Картана Еь является лагранжевым аналогом ассоциированных с
L гамильтонианов, тогда как лагранжевым партнером оператора Гамильтона
оказывается производящая форма kL (2.5). Ограничение этой формы на
полуголономное многообразие струй TLY представляет собой по определению
оператор Эйлера-Лагранжа первого порядка А поскольку в случае, когда у -
гамильтонова связность для Я, композиция JlH о у принимает значения в
J*Y, то из соотношения (2.61) следует, что она принимает значения в
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed