Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений Гамильтона. Ими по сути дела
являются уравнения (2.38). Они представляют собой условия на ядро
оператора Гамильтона для данного гамильтониана Я. Это дифференциальный
оператор первого порядка
Гя : J'П-" ДГП,
%н = [(у1\) - dpi - (PiX + d;JT) dy'] A w, (2.46)
на расслоении П -> X. Для всякой связности
7 = dxx 0 (дх + 7<л)д; + 7с\д") на расслоении П -> X справедливо
равенство
?я°7 = &Е - 7 -I П.
§3. Гамильтонов формализм
85
Из него следует, что связность 7 является гамильтоновой связностью для
гамильтониана Я как раз тогда и только тогда, когда она принимает
значения в ядре Кег г?н оператора Гамильтона (2.46), т. е. удовлетворяет
системе алгебраических уравнений Гамильтона
7(A) = (2.47а)
Ъ\ = - О, Ж. (2.47Ь)
Легко видеть, что эти уравнения в силу своей структуры всегда имеют
решение, но, поскольку число неизвестных в этих уравнениях больше числа
самих уравнений, их решение не единственно. Это означает, что, в отличие
от механики, существуют разные гамильтоновы связности для одного и того
же гамильтониана Я и можно даже установить их общую форму. В силу
уравнения (2.47а) все они удовлетворяют соотношению
/тгпу 07 = Я
и имеют вид
7 = dxx (r) (Эл + d\^di + jixK) ¦
Как и в случае уравнений Эйлера-Лагранжа, перейдем теперь от
алгебраических к дифференциальным уравнениям Гамильтона. Пусть г -
сечение расслоения П -> X такое, что его струйное продолжение j'r
принимает значения в ядре оператора Гамильтона (2.46). Тогда это сечение
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Гамильтона первого
порядка
дУ = д\Ж\ (2.48а)
дУ = ihS, (2.48Ь)
получаемых из алгебраических уравнений Гамильтона (2.47а) и (2.47Ь).
Уравнения Гамильтона (2.48а) и (2.48Ь) выглядят как естественное 71-
мерное обобщение обычных уравнений Гамильтона. Действительно, если X = М,
многоимпульсный гамильтонов формализм сводится к обычному гамильтонову
формализму в механике. В этом случае расслоение Y тривиально и имеют
место изоморфизмы
Y = Ж х F, (2.49)
П = 1 х ТТ, (2.50)
где Я- некоторое многообразие. Координатами наГиП являются (t, у') и
(t,y',pi =у,).
Обобщенная форма Лиувилля (2.34) и полисимплектическая форма (2.35) на
многообразии Лежандра П (2.50) сводятся к формам
в = -yidy',
П = dip A dy,
индуцированными на П соответственно из канонической формы Лиувилля
и канонической
симплектической формы на кокасательном расслоении ТТ. Пусть Г0
- тривиальная
связность на расслоении Y, отвечающая расщеплению (2.49). Тогда всякий
гамильтониан на многообразии Лежандра П (2.50) дается выражением
Я = ЯГо - Я = y,dy' - Mdt.
(2.51)
86
Глава 2. Геометрическая теория поля
Соответствующие алгебраические уравнения Гамильтона (2.47а) и (2.47Ь)
сводятся к известным уравнениям Гамильтона
и =
щ = -di&o
для гамильтонова векторного поля
и = udi + щд\
задаваемого функцией Гамильтона на Е х Т'F. В частности, имеет место
взаимно однозначное соответствие между гамильтоновыми векторными полями и
и гамильтоновыми связностями 7 на Е х T"F. Оно дается соотношением
7 = dt (r) (dt + и).
Заметим, что, в отличие от уравнений Гамильтона в механике, уравнения
Гамильтона (2.48а) и (2.48Ь) в теории поля описывают так называемую
обобщенную гамильтонову динамику, когда динамика системы не сводится к
эволюции во времени, задаваемой скобками Пуассона.
§ 4. Системы со связями
Рассмотрим связь между лагранжевым и многоимпульсным гамильтоновым
формализмами в наиболее интересной для приложений ситуации вырожденных
лагранжианов. К этому случаю относятся почти все сколько-нибудь
интересные полевые модели.
Пусть дано расслоение Y -* X. Пусть Н - гамильтониан (2.41) на
многообразии Лежандра П (2.31) и L - лагранжиан (2.1) на многообразии
струй J'Y. Пусть Н - соответствующий импульсный морфизм (2.44), a L -
отображение Лежандра (2.33). Приведем полезные координатные выражения для
их струйных продолжений J[ L и J[H\
(vi, yUyU)ojlS = (di^, уыЖК^\
дх = дх+ ylx)dj +
(Pi, У1),Р^) ° jl? = (*?, 24" K^i),
dx = dx + y3{X)d: F^xdj-
Существенно также, что, если 7 - гамильтонова связность для гамильтониана
Н, то композиция JlH07 принимает значения в полуголономном
подмногообразии струй Т*У:
(ylyi))°JlHoj = (diar,di^).
Чтобы прийти к понятию ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых
систем, рассмотрим диаграмму
§ 4. Системы со связями
87
Как мы увидим ниже, когда отображение Лежандра L - диффеоморфизм, для ла-
гранжевой системы существует единственная эквивалентная гамильтонова
система такая, что соответствующий импульсный морфизм является обратным
диффеоморфизмом Н = L~'. Отсюда следует, что, если отображение Лежандра
регулярно (т. е. является локальным диффеоморфизмом) в некоторой точке
конфигурационного пространства J'Y, соответствующая лагранжева система,
ограниченная на некоторую открытую окрестность этой точки, допускает
эквивалентную гамильтонову систему. Для сохранения этой локальной
эквивалентности в общем случае вырожденных лагранжевых систем, следует
