Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 39

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 97 >> Следующая

82
Глава 2. Геометрическая теория поля
Рассмотрим многообразие струй Л'П расслоения П-*Х с координатами
(хх, у,рх, у'(м),рх^).
Струйным продолжением проекции 7гпу : П -> Y является сюръекция
J1 тгпу : J1 П - JlY,
Уг 0 J'^uy = 2/(V)-Определение 2.3.4. Говорят, что связность
7 = dxx (r) (3А + j'wdi + тГа^) на расслоении П -<• X является
гамильтоновой связностью, если внешняя форма 7 j П = dpx А сй/' A +
jX\dyl Aw- 7(A)dpf A w
на П точная. ?
Приведем следующий важный случай гамильтоновых связностей.
Пример 2.3.1. Можно показать, что всякая связность Г на расслоении Y -> X
поднимается до связности
Г = dxx (r) [За + Г+ (-д,Т\(у)рГ - К\х(х)р^ + КааХ(х)р?) а?]
на расслоении П-*Г, где К - некоторая симметричная линейная связность
(1.70) на расслоениях ТХ и И. Рассмотрим векторнозначную форму
Г := Г о 7гпу :П ^ Y ^ J'Y,
T = dxx(r)(dx+r\dt), (2.36)
на расслоении Лежандра П -> Y, индуцированную из формы Г (1.66). Имеет
место соотношение _
Г j О = d(T j в), (2.37)
из которого следует, что Г - гамильтонова связность. ?
Этот пример показывает, что гамильтоновы связности всегда существуют.
Более того, всякой связности на расслоении Y -> X соответствует некоторая
гамильтонова связность на расслоении П -> X.
Определение 2.3.5. Внешняя n-форма Я на полисимплектическом многообразии
П называется гамильтонианом, если существует гамильтонова связность,
удовлетворяющая уравнению
7 j П = dH. (2.38)
?
Пример 2.3.2. Продолжая Пример 2.3.1 и сравнивая уравнение
(2.37) с уравнением (2.38), получаем, что всякой
связностй Г на расслоении Y -> X соответствует
гамильтониан ^
Яг = Г j в = pxdy' А шх - рхТ\(у)ш (2.39)
на многообразии Лежандра П. ?
§3. Гамильтонов формализм
83
Имея гамильтонианы (2.39), можно охарактеризовать все множество
гамильтонианов на многообразии Лежандра, если опираться на следующий
факт.
Теорема 2.3.6. Пусть Я - гамильтониан. Для всякой внешней горизонтальной
плотности
Я = (2.40)
на расслоении П -> X форма Я - Я тоже является гамильтонианом. Обратно,
если Я и Я' - гамильтонианы, их разность Я - Я' является внешней
горизонтальной плотностью типа (2.40). ?
Из Теоремы 2.3.6 следует, что гамильтонианы на многообразии Лежандра
образуют аффинное пространство, моделируемое над линейным пространством
горизонтальных плотностей (2.40). Отсюда всякий гамильтониан можно
представить в виде
Я = Яг - Яг = р,лdy' Л - р,ЛГ'л<Ц - Щьз = р\dy' Л шх - Stu,
(2.41)
где Г - некоторая связность на расслоении Y -> X. Если выбрать
другую связность
Г' = Г + и, где и - некоторая припаивающая форма на Y, то получим
простое соотно-
шение
ЯГ/ = Яг - р-
Выражение (2.41) сохраняет свой вид при всех преобразованиях канонических
координат. Поэтому в приложениях его можно использовать как определение
гамильтониана на многообразии Лежандра. К тому же, как будет показано
ниже, всякий гамильтониан сам определяет некоторую связность на
расслоении Y -* X, подставляя которую в выражение (2.41), мы получим его
каноническое разбиение.
Будем называть импульсным морфизмом любое послойное отображение над Y
фазового пространства в конфигурационное пространство:
Ф :П->JlY,
Y
Ух оФ = Ф*л(д), q € П. (2.42)
В композиции с мономорфизмом (1.50) импульсный морфизм (2.42)
можно представить
векторнозначной 1-формой
Ф = dxx 0 (дх + Ф1(<г)Д) (2.43)
на расслоении Лежандра П-+Е.
Пример 2.3.3. Связность Г на расслоении Y индуцирует импульсный морфизм Г
(2.36). Обратно, всякий импульсный морфизм Ф (2.42) задает связность
ГФ = Фоб
на расслоении Y -" X, где 0 - всюду нулевое глобальное сечение расслоения
Лежандра П -> Y. В частности, легко убедиться, что
Г-= Г.
г
?
84
Глава 2. Геометрическая теория поля
Подобно тому, как всякий лагранжиан индуцирует отображение Лежандра J'Y -
* П, каждый гамильтониан Я (2.41) определяет импульсный морфизм
Я :П -> J]Y,
у\оН = д\Ж, (2.44)
а также связность
Гя = Я о О
на расслоении Y -* X. Например, для гамильтониана Яг (2.39) находим
Гя,.=Г.
Справедливо и обратное утверждение. Всякий импульсный морфизм (2.42),
представленный векторнозначной формой (2.43) на многообразии Лежандра П,
порождает соответствующий гамильтониан
Яф = Ф j в = ЯГф - Яф = dy' Аид - Pi Ф'а(9)ш. (2.45)
В частности, гамильтониан Яг (2.39) является гамильтонианом типа (2.45),
порождаемым импульсным морфизмом Г (2.36). Обратно, если гамильтониан Я
удовлетворяет соотношению
Я~ = Я,
то это - гамильтониан типа Яг для некоторой связности Г на У.
Пусть Я - произвольный гамильтониан и Гн - индуцируемая им связность на
расслоении У -> X. Подставляя ее в выражение (2.41), мы получаем
упоминавшееся выше каноническое разбиение
Н=НГн- Я.
гамильтониана Я.
Заметим, что в механике гамильтонианы не имеют какого-либо канонического
вида. Это вызвано тем, что семейство канонических преобразований при n =
1 гораздо богаче, чем при n > 1, когда они ограничиваются в основном
преобразованиями (2.32) и, что самое главное, новые канонические
координаты у1' не могут выражаться через старые импульсы р['.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed