Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 38

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 97 >> Следующая

80
Глава 2. Геометрическая теория поля
В механике вполне адекватное описание вырожденных систем дает, как
известно, гамильтонов формализм. Этот гамильтонов формализм широко
используется и в квантовой теории поля для канонического квантования
полей. Главным его достижением стала процедура построения одновременных
коммутационных соотношений полей для систем со связями.
Не столь успешным однако оказалось применение стандартной гамильтоновой
техники в классической теории поля, когда каноническими переменными
являются полевые функции в данный момент времени. В результате
соответствующее фазовое пространство оказывается бесконечномерным, а
уравнения Гамильтона не являются дифференциальными уравнениями на полевые
функции, в отличие от уравнений Эйлера- Лагранжа. Поэтому в классической
теории поля, в сравнении с механикой, традиционный симплектический
гамильтонов формализм перестает быть партнером лагранжева формализма.
Таким партнером оказывается так называемый много импульсный гамильтонов
формализм, где каноническими переменными являются полевые функции и
импульсы, соответствующие производным этих функций по всем
пространственно-временным координатам, а не только по времени. В
математической литературе это направление особенно активно стало
развиваться с 70-х годов. В физической литературе, аналогичная идея была
положена в основу так называемой алгебры токов. Трудность возникает с
установлением коммутационных соотношений между многоимпульсными
каноническими переменными при переходе к квантовой теории. Однако ее
можно обойти, если ограничиться хронологическими произведениями и
квантовать поля в технике функционального интегрирования. Мы не будем
касаться здесь этих вопросов.
Для данного расслоения Y -* X рассмотрим расслоение
П= /\T*X(g)TX<g)F*y (2.31)
у Y
над Y, наделенное атласом расслоенных координат
(Xх, у1, рх),
,а ду3 дх'х ( дхх \
V =----------- det ( - I р-. (2.32)
Fl ду'г дх" V^'V
Всякий лагранжиан L (2.1) на многообразии струй J'Y расслоения Y задает
послойный морфизм
L : J'Y ->П,
Y
pf°? = irf, (2.33)
над Y конфигурационного пространства в расслоение П. Этот морфизм
выглядит как естественное тг-мерное обобщение известного преобразования в
механике от скоростей к импульсам. Поэтому многообразие П (2.31) является
естественным претендентом на роль конечномерного фазового пространства в
теории поля. Оно называется многообразием Лежандра, расслоение
Ялу : П -" У
именуется соответственно расслоением Лежандра над Y, а послойный морфизм
(2.33) - отображением Лежандра из конфигурационного в фазовое
пространство.
§3. Гамильтонов формализм
81
Будем использовать символ q для обозначения элементов многообразия
Лежандра П и станем называть координаты (2.32) на нем каноническими
координатами.
В качестве фазового пространства многообразие Лежандра П (2.31)
наделяется так называемой полисимплектической структурой, и
многоимпульсный гамильтонов формализм на этом многообразии строится
подобно гамильтонову формализму на симплекти-ческих многообразиях.
Определение 2.3.1. Обобщенной формой Лиувилля на расслоении Лежандра П ->
Y называется векторнозначная горизонтальная форма
в = -pf dy1 Aw(r) дх, (2.34)
отвечающая каноническому послойному мономорфизму
в : П ^ Д1 T*F 0 ТХ.
Y Y
?
Подчеркнем, что форма в (2.34) не является тангенциально-значной и к ней
нельзя прямо применить операцию (Б-М)-дифференцирования, чтобы получить
соответствующую полисимплектическую форму. Поэтому мы дадим независимое
определение полисимплектической формы.
Определение 2.3.2. Полисимплектической формой на многообразии Лежандра П
называется векторнозначная форма, которая во всяком атласе канонических
координат (2.32) на П дается выражением
U = dp^ A dy' А ы (r) дх. (2.35)
?
Хотя можно установить и прямую связь полисимплектической формы (2.35) с
обобщенной формой Лиувилля (2.34), мы здесь ограничимся следующим
утверждением.
Предложение 2.3.3. Для всякой внешней 1-формы ф на X и индуцированной из
нее внешней горизонтальной 1-формы ф на расслоении П -> X,
полисимплектическая форма (2.35) и обобщенная форма Лиувилля (2.34)
удовлетворяют соотношениям
d(U j ф) = О,
П j ф = -d(9 j ф).
?
Многообразие Лежандра, наделенное обобщенной формой Лиувилля (2.34) и
полисимплектической формой (2.35), называется полисимплектическим
многообразием. Легко видеть, что при dim X = 1 формы (2.34) и (2.35)
сводятся соответственно к канонической форме Лиувилля (1.41) и к
канонической симплектической форме из Примера 1.4.6. Случай п = 1
механики является однако весьма специфичным. Поэтому в дальнейшем в
теории поля мы будем полагать п > 1.
Одним из ключевых объектов при построении гамильтонова формализма на сим-
плектических многообразиях являются, как известно, гамильтоновы векторные
поля на симплектическом многообразии. В гамильтоновом формализме на
полисимплектиче-ском многообразии П аналогичную роль играют так
.называемые гамильтоновы связности.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed