Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
многообразие струй J'C расслоения С с координатами (х^, к(tm), к"\). Имеет
место его каноническое расщепление (1.92):
J'C = C+0C_,
С
Кх = ^ (ад + ад1) = ^ (к(tm)х + к+ cZkxkl) + i (к(tm)х - кхр - cZklk1^).
На этом конфигурационном пространстве общепринятый лагранжиан Янга-Миллса
LYm калибровочных потенциалов дается выражением
Lyu = ^7 а°ад<Лад\ад^5]ш, (2.21)
где а° - некоторая невырожденная G-инвариантная билинейная форма на
алгебре Ли сС/Т - типичном слое сопряженного расслоения VGP, и е -
константа взаимодействия.
Заметим, что невырожденная инвариантная билинейная форма на алгебре Ли
существует не всегда, и поэтому не для всех групп Ли может быть построена
янг-миллсовская
76
Глава 2. Геометрическая теория поля
калибровочная модель. Например, если G - полупростая группа, такой формой
является форма Киллинга
G I к
пп CjnkCnl'
Если G - компактная группа, форма Киллинга является отрицательно
определенной и существует базис алгебры Ли, в котором она принимает вид
а(r)" = -26тп. В калибровочной теории внутренних симметрий обычно
ограничиваются моделями с компактными группами симметрий, поскольку
отрицательная определенность формы Киллинга гарантирует положительную
определенность энергии калибровочных потенциалов в таких моделях.
Лагранжиан Янга-Миллса (2.21) факторизуется согласно общему выражению
(2.20) в виде
LYM:JlC^C.-*Arx,
где D - ковариантный дифференциал относительно какой-либо связности
(1.95).
Пример 2.2.1. Простейшим примером калибровочного поля является
электромагнитное поле. Электромагнитные потенциалы отождествляются со
связностями на главных расслоениях со структурной группой 17(1). Такие
расслоения над сферой S2 и связности на них были рассмотрены в Примерах
1.7.2 и 1.7.8. Пусть Р -* X - главное 17(1)-расслоение. В этом случае
соответствующее сопряженное расслоение VGР сводится к тривиальному
линейному расслоению
VGР = X х Ш,
а расслоение связностей С (1.89) изоморфно аффинному кокасательному
расслоению Т*Х над X с координатами (хх, fcM). Связности (1.95) на нем
принимают форму
Г в"х = \(д11Вх + дхВ11)-Кр11Х(Вр-кр).
Конфигурационным пространством электромагнитных потенциалов является
многообразие струй
2
J'c = JlTX = <g)ТХ х тх.
X
Его каноническое расщепление (1.92) имеет вид
2 2
j'TX = V ТХ 0 Д ТХ, (2.22)
т*х
= -(y^ix + ^л) =
Для всякого сечения А аффинного кокасательного расслоения Т*Х, величина
F"x = -З^х ° JlA = дхА^ - д^Ах
является напряженностью электромагнитного поля. На конфигурационном
пространстве (2.22) общепринятый лагранжиан электромагнитного поля дается
выражением
в системе единиц, в которой'скорость света принята равной 1. ?
§2. Калибровочная теория
77
Легко проверить, что лагранжиан Янга-Миллса (2.21) вырожден. Если
построить соответствующие алгебраические уравнения Эйлера-Лагранжа (2.7),
нетрудно убедиться, что они оставляют произвольными компоненты Глл
лагранжевой связности, и дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа для
калибровочных потенциалов оказываются недоопределенными.
Еще одним объектом калибровочной теории являются так называемые
материальные поля. В калибровочной теории внутренних симметрий
материальные поля со значениями во внутреннем пространстве V описываются
глобальными сечениями векторного расслоения
Y = (Р х V)/G, (2.24)
ассоциированного с главным расслоением Р. Это скалярные поля. Связности Г
на расслоении Y ассоциированы со связностями на главном расслоении Р и
имеют вид (1.54).
Гл - dxx (r) [дл + А(tm){х)1тгdi].
Чтобы можно было построить лагранжиан материальных полей, предполагается,
что расслоение Y (2.24) наделено G-инвариантной послойной метрикой av .
Благодаря каноническому вертикальному расщеплению
VY = Y 0 Y,
х
метрика ау служит также послойной метрикой в вертикальном касательном
расслоении VY -> X.
Конфигурационным пространством материальных полей является многообразие
струй j'y расслоения (2.24) с координатами (хх, у', у\). На этом
конфигурационном пространстве стандартный лагранжиан скалярных
материальных полей в присутствии внешнего калибровочного потенциала А
имеет вид
Ь(т) = ^ al, [g^iy'u. ~ ТА'Ж ~ TAl) - ruy'tf] \Дд\ш, (2.25)
ТА = Л?(х)и^. (2.26)
Он является непосредственным обобщением лагранжиана скалярного поля из
Примера 2.1.1 и описывает взаимодействие материальных полей с внешним
калибровочным потенциалом А. Лагранжиан (2.25) регулярен. Он не является
калибровочно инвариантным из-за внешнего поля А.
В случае ненарушенных симметрий полная система динамических материальных
полей и динамических калибровочных потенциалов представляется сечениями
прямого произведения
CxY (2.27)
х
расслоения связностей С и расслоения материальных полей Y с координатами
(х) k(tm), уг).
В качестве связности на расслоении (2.27) можно было бы взять
произведение связностей SB на С и Гл на У, но при таком варианте мы
получили бы, как и в предыдущем случае, взаимодействие материальные полей
с внешним, а не с динамическим калибровочным потенциалом. Поэтому выберем
